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同构基本定理或称同态基本定理,包含三个定理,在泛代数领域有广泛的应用。它们证明了一些自然同构的存在性。

历史编辑

同构基本定理最早由埃米·诺特(Emmy Noether)在她于1927在德国数学期刊数学分析(Mathematische Annalen)发表的论文Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern中明确阐述。

群同态基本定理编辑

我们首先叙述群论中的同态基本定理,他们的形式相对简单,却表达了商群的重要性质。定理的叙述中用到了关于正规子群的等价类概念。

群同構基本定理编辑

群同構第一定理编辑

給定一個群同態  ,根據群同態第一基本定理,我們可以把 除以 ,使  變成單射

直觀來講,把一個群 除以 子群 相當於把 裡的元素看成0。把 的核除掉後,我們使得 只在  時才會成立,這是 的單射性的等價敘述。

我們必須先確定商群具有群的結構,才可以對 進行討論。


定理: 給定  兩個群,和 群同態。則 是一個 正規子群


證明: 記    的運算符號,記  他們的單位元,我們可以驗證  在共軛運算下封閉,即對於所有 、所有 ,有 

我們有 。由於  裡面,即 ,我們推論 。因此,  裡面,故  的正規子群。


  的正規子群的這個性質讓我們可以在商群 上定義一個與 的運算規則相容的運算規則。因為相容性的緣故,群同態 誘導出群同構 

我們有以下的定理:

群同構第一定理 給定  兩個群, 群同態,則 誘導出一個從 打到 的群同構。


證明: 記  的核。我們定義  .

  • 函數 定義良好,即 只依賴於 而與代表 的選擇無關。理由是,若  的一個代表,即若 ,則 ,所以 ,從而 
  • 由商群運算的定義, 是一個群同態。
  • 群同態 滿射:對於所有 ,存在 使得 ,由此 
  • 群同態 單射。理由是:考慮 的核裡的任意元素 ,則 ,即  的核 裡面。又  的單位元。

這個定理也可以想成是一個單射與一個滿射的複合,以下為示意圖

 
交換圖

群同構第二定理编辑

群同構第二定理: 給定群   、其正規子群   、其子群   ,則    的正規子群,且我們有群同構如下:  

證明:

  • 必須先證明 确实是一个群,以及 限定在  中亦是一個正規子群,才能討論商群  

    中的兩個元素。我們有   ,其中  ,   (因為    中正規) 且  ,故    中,其證明了   在乘法下封閉。不難證明他不是空集合、以及反元素的封閉性。

此外,我們有   的包含關係,並且    中正規,所以也在   中正規。

  • 為了建構群同構,我們將使用群同構第一定理。

 單射群同態,定義為   ,取標準滿射   (值域是個群,因為    中正規)。藉由複合兩個群同態,我們建構出一個新的群同態   定義為  

  • 群同態   是滿射。

理由是,設   ,其中    。由於    裡面,   ,故 

  •   的核是  

理由是,    的單位元,即   若且唯若,    裡面。由於   已經在   裡面,所以證明這個相當於證明    裡面。

  • 由群同構第一定理知    的正規子群,且其誘導出的映射   是群同構。


如果我們弱化前提,假設  正規化子包含   (把相等改成包含)這個定理依然正確。

群同構第三定理编辑

群同構第三定理: 給定群      的正規子群,滿足   包含於   ,則    的正規子群,且有如下的群同構:  

證明:   為滿射,其核為  

所以可由群同構第一定理得到  

环和模上的形式编辑

  • 将定理中的“群”换为“R-模”,将“正规子群”换为“子模”,就得到对于确定的环R上的的同构基本定理,(因此同构基本定理对于确定的上的向量空间也成立)对于向量空间,同构第一基本定理即是秩-零化度定理
  • 将定理中的“群”换为“环”,“子群”换为“子环”,“正规子群”换为“理想”,“商群”换为“商环”就得到环的同构基本定理。
  • 与子群的乘积HK相对应的定义是子模,子环,子空间的并,用H + K而不再用HK表示。具体的定义是:
 

推广编辑

在泛代数中,正规子群被推广为更广泛的共轭类的概念。

A是一个代数结构,A的一个同余类A上的一个等价关系 ,可看作是A × A上的子代数。等价类A/ 的集合在定义了适合的运算法则后,便可成为与A同类型的代数结构。

第一同构定理编辑

AB是两个代数结构,fAB态射,则A等价关系 a~b当且仅当f(a)=f(b)A上的一个同余类,并且A/ 同构于f的像(B的子代数)。

第二同构定理编辑

BA的子代数, A上的同余类。令[B] 是所有包含B种元素的同余类的集合,它是A/ 的一个子集;  限制在 B × B上的部分。那么[B] A/ 的子代数结构, B上的同余类,并且[B] 同构于B/ 

第三同构定理编辑

A是一个代数结构,  A上的两个同余关系, 包含于 。则 定义了A/ 上的一个同余类 [a]~[b]当且仅当ab关于  同余([a]表示a所在的 -等价类),并且A/ 同构于(A/ )/