完整群

微分幾何的概念
(重定向自和樂群

微分几何中,一個微分流形上的联络完整[1](英語:holonomy,又譯和樂),描述向量繞閉圈平行移动一週回到起點後,與原先相異的現象。平聯絡的和樂是一種單值性英语monodromy現象,其於全域有定義。曲聯絡的和樂則有非平凡的局域和全域特點。

流形上任意一種聯絡,都可由其平行移動映射給出相應的和樂。常見的和樂由具有特定對稱的聯絡給出,例如黎曼几何列维-奇维塔联络的和樂(稱為黎曼和樂)。向量丛聯絡的和樂、嘉当联络的和樂,以及主丛聯絡的和樂。在該些例子中,聯絡的和樂可用一個李群描述,稱為和樂群。聯絡的和樂與其曲率密切相關,見安布羅斯-辛格定理

對黎曼和樂的研究導致了若干重要的發現。其最早由Élie Cartan (1926引入,以用於對稱空間英语symmetric space的分類上。然而,很久以後,和樂群才用於更一般的黎曼幾何上。1952年, 乔治·德拉姆證明了德拉姆分解定理:若黎曼流形的切丛可分解成局域和樂群作用下不變的子空間,則該流形分解為黎曼流形的笛卡儿积。稍後,於1953年,馬塞爾·伯格英语Marcel Berger 給出所有不可約和樂的分類[2]。黎曼和樂的分解和分類適用於物理和弦論

定义编辑

向量叢聯絡的和樂编辑

M光滑流形E 為其上的 k向量丛,∇ 為 E 上的聯絡。給定 M 上一點 x 和以 x 為基點的分段光滑環圈 γ : [0,1] → M, 該聯絡定義了一個平行移动映射 Pγ : ExEx. 該映射是可逆線性映射,因此是一般线性群 GL(Ex) 的元素。∇ 以 x 為基點的和樂群定義為

 

x 為基點的限制和樂群是由可縮英语contractible環圈 γ 給出的子群 .

M 連通,則不同基點 x 的和樂群 僅相差 GL(k, R) 的共軛作用。更具體說,若 γM 中由 xy 的路徑,則

 

選取 Ex 的另一組基(即以另一種方式將 Ex 視為與 Rk 等同)同樣會使和樂群變成 GL(k, R) 中另一個共軛子群。非完全嚴格的討論中(下同),可將基點略去,但倘如此行,則和樂群僅在共軛意義下有良好定義。

和樂群的重要性質包括:

  •   是 GL(k, R) 的連通李子群
  •   單位連通支英语identity component
  • 存在自然的滿群同態   其中  M 的基本群。該同態將同倫類   映到陪集  
  • M 單連通,則  
  • ∇ 為平(即曲率恆零)当且仅当   為平凡群。

在物理学中,威爾森迴圈是 tr(P)(特徵標理論)。

主叢聯絡的和樂编辑

主叢聯絡的和樂與向量叢相倣。設 G李群P仿緊光滑流形 M 上的G。設 ωP 上的聯絡。給定 M 中一點 x, 以 x 為基點的分段光滑環圈 γ : [0,1] → M, 以及 x 纖維上一點 p, 該聯絡定義了唯一的水平提升   使得   水平提升的終點   未必是 p, 因為其可為 x 纖維上的另一點 p·g. 若兩點 pq 之間有分段光滑的水平提升路徑連接,則稱 p ~ q. 如此,~ 是 P 上的等價關係

ωp 為基點的和樂群定義為

 

若在定義中僅允許可縮英语contractible環圈 γ 的水平提升,則得到以 p 為基點的受限和樂群  . 其為和樂群  的子群。

MP連通,則不同基點 p 的和樂群僅在 G 互為共軛。更具體說,若 q 是另一個基點,則有唯一的 gG 使得 q ~ p·g. 於是,

 

特別地,

 

再者,若 p ~ q, 則   因此,有時可省略基點不寫,但須留意這會使得和樂群僅在共軛意義下有良好定義。

和樂群的若干性質包括:

  •  G 的連通李子群
  •   單位連通支英语identity component
  • 存在自然的滿群同態 
  • M 單連通,則  
  • ω 為平(即曲率恆零)当且仅当   為平凡群。

和樂叢编辑

同上,設 M 為連通仿緊流形,P 為其上的主 G 叢,ωP 上的聯絡。設 pP 為主叢上的任意一點。以 H (p) 表示 P 中可與 p 用水平曲線相連的點的集合。則可證明 H (p) 連同其到 M 的投影也構成 M 上的主叢,且具有結構群  (即 H (p) 是主   叢)。 此主叢稱為該聯絡 ω 經過 p和樂叢ω 限制到 H (p) 上也是一個聯絡,因為其平行移動映射保持 H (p) 不變。故 H (p) 是該聯絡的約化主叢。此外,H (p) 任何真子叢都不被平行移動保持,所以其在該類約化主叢之中為最小。[3]

與和樂群類似,和樂叢在環繞它的主叢 P等變。具體說,若 qP 是另一個基點,則有 gG 使得 q ~ p g(按假設,M 是路連通的)。故 H (q) = H (p) g. 於是,兩者在和樂叢上導出的聯絡是相容的,即:兩個聯絡的平行移動映射恰好相差了群元素 g.

單延拓群编辑

和樂叢 H (p) 是主   叢,因此受限和樂群  (作為全個和樂群的正規子群)也作用在 H (p) 上。離散群   稱為聯絡的單延拓英语Monodromy。其作用在商叢   上。存在滿同態  使得   作用在   上。基本群的這個群作用稱為基本群的單延拓表示[4]

局域及無窮小和樂编辑

若 π: PM 為主叢,ω 為 P 的聯絡,則 ω 的和樂可限制到 M 的開集的纖維上。若 UM 的連通開集,則將 ω 限制到 U 上可得叢 π−1U 的聯絡。該叢的和樂群記為   而受限和樂群則記為   其中 p 為滿足 π(p) ∈ U 的點。

UV 為包含 π(p) 的兩個開集,則有包含關係

 

p 點的局域和樂群定義為

 

其中 Uk 為任意一族滿足   的遞降(即   )連通開集。

局域和樂群有以下性質:

  1. 其為受限和樂群   的連通李子群。
  2. 每點 p 都有鄰域 V 使得   局域和樂群僅取決於 p, 而非序列 Uk 的選取。
  3. 局域和樂群在結構群 G 的作用下等變,即對任意 gG,  (注意由性質 1, 局域和樂群是 G 的連通李子群,故伴隨 Ad 有定義。

局域和樂群不一定有全域的良好性質,例如流形的不同點上的局域和樂群不一定具有相同的維數。然而,有以下的定理:

  • 若局域和樂群的維數恆定,則局域和樂群與受限和樂群相等,即 

詞源编辑

英文Holonomy與「全純」(Holomorphic)相似,"Holomorphic"一詞由柯西的兩個學生夏爾·布里奧法语Charles Briot(1817–1882)和讓-克勞迪·波桂法语Jean-Claude Bouquet(1819–1895)引入,來自希臘文ὅλοςholos)和μορφήmorphē),意思分別是「全」、「形態」。[5]

"Holonomy"與"holomorphic"的前半(holos)一樣。至於後半:

非常難在網絡上找出holonomic(或holonomy)的詞源。我找到(鳴謝普林斯頓約翰·康威):

我相信潘索(Louis Poinsot)最早在他對剛體運動的分析用到它。這個理論中,若某種意義下,能夠從一個系統的局域資訊得悉其全局資訊,就叫一個和樂的 ("holonomic")系統,所以它的意思「整體法則」("entire-law")很貼切。球在桌上滾動並不和樂,因為沿不同的路徑滾到同一點,可以使球的方向不同。然而,將「和樂」理解成「整體法則」恐怕有點過於簡化。希臘文的"nom"詞根有多層互相交織的意思,可能更多時解「數算」(counting)。它與我們的詞數字"number"來自同一個印歐詞根

——S. Golwala[6]

參見νόμοςnomos)和-nomy

安布羅斯-辛格定理编辑

安布羅斯-辛格定理(得名自Warren Ambrose and Isadore M. Singer (1953)描述主叢聯絡的和樂與該聯絡的曲率形式之間的關係。為理解此定理,先考慮較熟知的情況,如仿射联络、切叢聯絡(或其特例列維-奇維塔聯絡)。沿無窮小平行四邊形的邊界走一圈,就會感受到曲率。

引入更多細節,若  中某曲面的坐標表示,則向量 可以沿 的邊界平行移動,由原點出發,先沿 ,再沿 ,再  反方向,即由 遞減至 ),最後 ,回到原點。此為和樂環圈的特例,因為向量 沿該圈平行移動的結果,相當於 邊界的提升,對應的和樂群元素,作用在 上。當平行四邊形縮至無窮小時(即沿更小的平行四邊形圈,對應 坐標中的區域 ,而 趨向於 ),就會明確得到曲率。換言之,取平行移動映射於 處的導數:

 

其中 曲率張量[7]所以,粗略而言,曲率給出閉環圈(無窮小平行四邊形)上的無窮小和樂。更嚴格地,曲率是和樂作用於和樂群單位元處的導數。換言之,  李代數的元素。

一般來說,考慮結構群為 的主叢 某聯絡的和樂。以 表示 的李代數,則聯絡的曲率形式 上的 值2-形式 。安布羅斯-辛格定理斷言:[8]

 的李代數,是由 中所有形如 的元素線性張成,其中 取遍所有可以用水平曲線  連接的點,而 皆是 處的水平切向量。

亦可用和樂叢的說法,複述如下:[9]

 的李代數,是 中形如 的元素張成的線性子空間,其中 取遍 的元素,而 取遍 處的水平向量。

黎曼和樂编辑

可約和樂與德拉姆分解编辑

 為任意一點,則和樂群 作用在切空間 上。視之為群的表示,則可能不可約,亦可能可約,即可以將 分解成正交子空間的直和

 

而兩個子空間皆在 作用下不變。此時亦稱 可約

 為可約流形。上式說明,在每一點 處,切空間可以約化分解成  ,所以當 變動時,就定義出向量叢  ,兩者皆光滑分佈,且是弗比尼斯可積。兩個分佈的積分流形英语integral manifold皆為完全測地英语Totally geodesic子流形,換言之,子流形的測地線皆為原流形的測地線。所以局部觀察 ,是笛卡爾積 。重複上述分解,直到切空間完全約化,則得到(局部)德拉姆同構:[10]

 單連通黎曼流形,[11]又設在和樂群的作用下, 為切叢的完全約化分解,而和樂群在 上的作用平凡(恆等映射),則 局部等距同構於乘積

 

其中 歐氏開集,而每個  的積分流形。更甚者,  的直積(  過某點的極大積分流形)。

若同時假設 測地完備英语geodesically complete(每點每個方向的測地線皆可無限延伸),則定理不僅局部成立,而是全域成立,且各 本身也是測地完備流形。[12]

伯格分类编辑

1955年,馬塞爾·伯格英语Marcel Berger將不可約(並非局部等同積空間)、非對稱(並非局部地黎曼對稱英语Riemannian symmetric space)、單連通的黎曼流形,可能具有的和樂群,完全分類。伯格分類表如下:

    流形類型 備註
正交群    可定向流形
酉群    凯勒流形 凱勒
特殊酉群    卡拉比–丘流形 里奇平、凱勒
辛群    超凱勒流形英语Hyperkähler manifold 里奇平、凱勒
    四元數凱勒流形英语Quaternion-Kähler manifold 愛因斯坦英语Einstein manifold
例外單李群英语G2 (mathematics)    G2流形英语G2 manifold 里奇平
旋量群    Spin(7)流形英语Spin(7) manifold 里奇平

1965年,愛德蒙·博南英语Edmond BonanVivian Yoh Kraines同時研究和樂群為 的流形,構造出其平行4形式。

愛德蒙·博南英语Edmond Bonan於1966年最早引入和樂群為  的流形,他構造出全部平行形式,並證明該些流形皆為里奇平。

伯格原先的表中,未排除 (作為 的子群)。後來,迪米特里·阿列克謝耶夫斯基(Dmitri V. Alekseevsky)一人,與布朗(Brown)、格雷(Gray)二人,分別證明具此和樂群的黎曼流形必然局部對稱,即與凱萊平面英语Cayley plane 局部等距同構,或局部平坦,故上表不列。上表列出的各可能,現已確實知道是某黎曼流形的和樂群。末尾兩個例外情況的流形最難發現,見 流形英语G2 manifold 流形英语Spin(7) manifold

注意 ,故超凱勒流形英语hyperkähler manifold必為卡拉比-丘卡拉比-丘流形必為凱勒,而凯勒流形可定向

以上看似奇怪的列表(伯格定理),可由西蒙斯(Simons)的證明解釋。另有一個簡單幾何證明,由卡洛斯·奧爾莫斯(Carlos E. Olmos)於2005年給出。[13]第一步要證,若黎曼流形並非局部對稱空間英语locally symmetric space,而約化和樂在切空間上的作用不可約,則遞移地作用在單位球面上。但已知有何種李群遞移作用於球面:上表所列各項,以及兩個額外情況,分別是 (作用於 ),以及 (作用於 )。最後,要驗證前者只能作為局部對稱空間(局部同構於的凱萊射影平面英语Cayley projective plane)的和樂群,而後者則根本不能作為和樂群出現。

伯格的原分類,尚有涵蓋非正定偽黎曼度量,其給出非局部對稱和樂的可能列表為:

和樂群 度量符號英语Metric signature
   
   
   
   
   
   
   
分裂   
   
   
   
   
   

但是,標 的兩種和樂群(分裂 及複化 ),如同正定的情況,只能在局部對稱空間出現,故應予刪去。至於複化和樂群 三種,可以將實解析黎曼流形複化得到。而和樂群為 子群的流形,R. McLean證明其為局部平。[14]

對稱黎曼空間,因為局部與齊性空間 同構,其局部和樂群同構於 ,經已分類完畢

最後,伯格的論文亦有列舉僅得無撓仿射联络的流形的可能和樂群,見下節

特殊和樂及旋量编辑

一些流形具特殊的和樂,該性質亦可藉平行旋量是否存在來刻劃(平行旋量即協變導數為零的旋量場),[15]尤其有以下各項命題成立:

  •  ,當且僅當 上存在平行的射影純旋量場。
  •  旋量流形英语spin structure,則 ,當且僅當 具有至少兩個線性獨立的平行純旋量場。事實上,平行純旋量場足以確定由結構群 的典範歸約。
  •  是七維旋量流形,則 具有非平凡平行旋量場,當且僅當和樂群是 的子群。
  •  為八維旋量流形,則 具有非平凡平行旋量場,當且僅當和樂群是 的子群。

么正與特殊么正和樂經常連帶扭量理论[16]殆复流形[15]一同研究。

應用编辑

弦論编辑

具特殊和樂的黎曼流形,對弦論緊化很重要。[17]原因是,特殊和樂流形上,存在共變常值(即平行)旋量,於是保一部分超对称。較重要的緊化是在具  和樂的卡拉比–丘流形上,以及 流形英语G2 manifold上。

機器學習编辑

机器学习,尤其流形學習英语manifold learning方面,曾有人提出,藉計算黎曼流形的和樂,得出數據流形的結構。由於和樂群包含數據流形的全域結構,其適用於判斷數據流形可能如何分解成子流形之積。由於取樣有限,無法完全準確計算出和樂群,但利用來自譜圖論的思想(類似向量擴散映射英语Diffusion map),有可能構造出數值近似。所得的算法「幾何流形分量估計量」(英語:Geometric Manifold Component Estimator,簡寫GeoManCEr探地者」),能給出德拉姆分解的數值近似,並應用於現實數據。[18]

仿射和樂编辑

仿射和樂群(英語:affine holonomy groups),是無撓仿射联络的和樂群;其中一些不能作為(偽)黎曼和樂群出現,稱為非度量和樂群(英語:non-metric holonomy groups)。德拉姆分解定理不適用於仿射和樂群,所以離完成分類尚有很遠,但仍可以將不可約的仿射和樂分類。

伯格在證明黎曼和樂分類定理的過程中,發現對於非局部對稱英语symmetric space的無撓仿射聯絡而言,和樂群的李代數必定符合兩個條件。伯格第一準則(英語:Berger's first criterion)是安布羅斯-辛格定理(即曲率張量生成和樂的李代數,見前節)的後果;而第二準則,來自聯絡非局部對稱的條件。伯格列舉了滿足此兩個準則,且作用不可約的群,可以視之為不可約仿射和樂群的可能情況表。

但伯格的列表,其後證實並未齊全。羅伯特·布萊恩特英语Robert Bryant (mathematician)(1991)和Q. Chi、S. Merkulov、L. Schwachhöfer(1996)找到未在列表的例子,有時稱為「怪和樂」(exotic holonomies)。努力搜索例子之後,最終由Merkulov和Schwachhöfer(1999年)完成不可約仿射和樂群的分類,而反方向的結果則由布萊恩特(2000年)證明,即列表上所有群皆確實能作為仿射和樂群。

觀察到表中的群和埃爾米特對稱空間英语hermitian symmetric space四元數凱勒對稱空間英语quaternion-Kähler symmetric space之間有聯繫之後,Merkulov–Schwachhöfer分類會變得更清晰。此種聯繫在複仿射和樂的情況尤其明確,見於Schwachhöfer(2001)。

 為有限維複向量空間, 為不可約半單複連通李子群,又設 為極大緊子群。

  1. 若有不可約埃爾米特對稱空間形如 ,則  兩者皆為非對稱不可約仿射和樂群,其中  的切表示。
  2. 若有不可約四元數凱勒對稱空間形如 ,則 為非對稱不可約仿射和樂群,而當 時, 亦然。此時, 的複化切表示是 ,而  上某個複辛形式

上述兩族已涵蓋大部分非對稱不可約複仿射和樂群,例外僅有:

 

利用埃爾米特對稱空間的分類,第一族的複仿射和樂群有:

 

其中 可取平凡群,亦可取為 

同樣,用四元數凱勒對稱空間的分類,第二族複辛和樂群有:

 

(第二行中, 必須取為平凡群,除非 ,此時可取為 。)

從以上各列表,可以觀察出一個結論,類似西蒙斯斷言黎曼和樂群遞移作用於球面:複和樂表示皆為預齊性向量空間英语prehomogeneous vector space。但是,未知此事實的概念性證明。

不可約實仿射和樂的分類,用「實仿射和樂複化成複仿射和樂」此結論,結合上表,仔細分析便得。

参见编辑

脚注编辑

  1. ^ holonomy. 樂詞網. 國家教育研究院. 
  2. ^ Wu, Hongxi. On the de Rham decomposition theorem. DSpace@MIT. [2020-02-18]. (原始内容存档于2020-02-18). 
  3. ^ Kobayashi & Nomizu 1963,§II.7
  4. ^ Sharpe 1997,§3.7
  5. ^ Markushevich, A.I. 2005
  6. ^ Golwala 2007,第65–66頁
  7. ^ Spivak 1999,第241頁
  8. ^ Sternberg 1964,Theorem VII.1.2
  9. ^ Kobayashi & Nomizu 1963,Volume I, §II.8
  10. ^ Kobayashi & Nomizu,§IV.5
  11. ^ 定理亦可推廣至非單連通流形,但敍述更複雜。
  12. ^ Kobayashi, Nomizu & §IV.6
  13. ^ Olmos, Carlos E. A geometric proof of the Berger Holonomy Theorem [伯格和樂定理的幾何證明]. Annals of Mathematics. 2005, 161: 579–588. doi:10.4007/annals.2005.161.579 (英语). 
  14. ^ Bryant, Robert L. Classical, exceptional, and exotic holonomies: a status report. Basse, Arthur L. (编). Actes de la table ronde de Géométrie Différentielle en l'honneur de Marcel Berger. Séminaires & Congrès 1. 1996: 93–165 [2021-10-02]. ISBN 2-85629-047-7. (原始内容存档于2020-07-31) (英语). 
  15. ^ 15.0 15.1 Lawson & Michelsohn 1989,§IV.9–10
  16. ^ Baum 1991
  17. ^ Gubser, S., Gubser S.; et al , 编, Special holonomy in string theory and M-theory  +Gubser, Steven S., Strings, branes and extra dimensions, TASI 2001. Lectures presented at the 2001 TASI school, Boulder, Colorado, USA, 4–29 June 2001., River Edge, NJ: World Scientific: 197–233, 2004, ISBN 978-981-238-788-2, arXiv:hep-th/0201114  .
  18. ^ Pfau, David; Higgins, Irina; Botev, Aleksandar; Racanière, Sébastien, Disentangling by Subspace Diffusion, Advances in Neural Information Processing Systems, 2020, arXiv:2006.12982  

参考文献编辑