哈密顿路径问题

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图论中的经典问题哈密顿路径问题Hamiltonian path problem)与哈密顿环问题Hamiltonian cycle problem)分别是来确定在一个给定的图上是否存在哈密顿路径(一条经过图上每个顶点的路径)和哈密顿环(一条经过图上每个顶点的环)。两个问题皆为NP完全[1]

正十二面体上的哈密顿路径(红色)。

哈密顿环问题与哈密顿路径问题之间的关系编辑

哈密顿环问题与哈密顿路径问题之间有着很简单的关系:

  • 给定图  ,通过加入新顶点  并将新顶点与所有其他顶点连接起来,我们得到了图 。 在图  之上的哈密顿路径问题与在 之上的哈密顿环问题等价。因此寻找哈密顿路径的速度不可能比寻找哈密顿环的速度快很多。
  • 从另一个方向来看,给定图 ,给定图上一个顶点 ,通过加入新顶点给定图 ,并且让 的邻居等于 的邻居,再增加两个度为1的新顶点,并让他们分别与  相连,得到图 ,则图 上的哈密顿环问题与图 上的哈密顿路径问题等价。[2]

算法编辑

在一个阶数为 的图中,可能成为哈密顿路径的顶点序列最多有有 !个(在完全图的情况下恰好为 !个),因此暴力搜索所有可能的顶点序列是非常慢的。 一个早期的在有向图上寻找哈密顿环的算法是Martello的枚举算法[3] 由Frank Rubin[4] 提供的搜索过程将图的边分为3种类型:必须在路径上的边,不能在路径上的边,和未定边。在搜索的过程中,一个决策规则的集合将未定边进行分类,并且决定是否继续进行搜索。这个算法将图分成几个部分,在它们上问题能够被单独地解决。

另外,Bellman, Held, and Karp动态规划 算法可以在O(n2 2n)时间内解决问题。在这个方法中,对每个顶点集 和其中的每一个顶点  ,均做出如下的判定:是否有一条经过 中每个顶点,并且在 结束的路径,对于每一对  ,当且仅当存在 的邻居 满足存在一条路径经过 的所有顶点,并在 上结束的路径时,存在路径经过 中每个顶点,并且在 结束。这个充要条件已经可以之前的动态规划计算中确认。[5][6]

Andreas Björklund通过inclusion–exclusion principle将哈密尔顿环的计数问题规约成一个更简单,圈覆盖的计数问题,后者可以被通过计算某些矩阵的行列式解决。通过这个方法,并通过蒙特卡洛算法,对任意  阶图,可以在O(1.657n)时间内解决。对于二分图,这个算法可以被进一步提升至o(1.415n).[7]

对于最大度小于等于3的图,一个回溯搜索的方法可以在 O(1.251n)时间内找到哈密顿环.[8]

哈密顿环和哈密顿路径也可以通过SAT solver找到.


复杂度编辑

哈密顿环和哈密顿路径问题是FNP问题,它的决定性问题 是检测是否存在一条哈密顿环或哈密顿路径。有向图和无向图上的哈密顿环问题是 卡普的二十一个NP-完全问题中的其中两个。对于一些特殊类型的图来说,它们仍然是NP完全的。例如:

然而,对于某些类型的图,哈密顿环和哈密顿路径问题可以在多项式时间内解决:

  • 根据Tutte的结论,4-顶点连通 平面图总是存在哈密顿环,并且可以在线性时间内找到哈密顿环。[15] by computing a so-called Tutte path.
  • Tutte通过证明2-正则平面图包含Tutte路径,证明了以上的结论。对2-正则平面图来说,其Tutte路径可以在平方时间内找到,[16], 这可能可以被用来寻找一般平面图上的哈密顿环和较长的环。

将以上提供的条件汇总起来,3-正则,3-定点连通的二分图是否总是存在哈密顿环这一问题仍然是开放的,在这个情况下这一问题不是NP完全的,详见 Barnette's conjecture.

在所有顶点的度都是奇数的途中,一个与握手引理有关的结论说明对于任意一条边来说,经过它的哈密顿环的个数总是偶数,因此如果存在一条哈密顿环,则一定存在另一条 [17] 然而,找到第二条哈密顿换并不是一个简单的计算问题。Papadimitriou定义了一个 复杂性类复杂性类 PPA来描述这一类问题。 [18]

外部連結编辑

  1. ^ Michael R. Garey and David S. Johnson, Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness, W.H. Freeman, 1979, ISBN 978-0-7167-1045-5  A1.3: GT37–39, pp. 199–200.
  2. ^ Reduction from Hamiltonian cycle to Hamiltonian path
  3. ^ Martello, Silvano, An Enumerative Algorithm for Finding Hamiltonian Circuits in a Directed Graph, ACM Transactions on Mathematical Software, 1983, 9 (1): 131–138, doi:10.1145/356022.356030 
  4. ^ Rubin, Frank, A Search Procedure for Hamilton Paths and Circuits, Journal of the ACM, 1974, 21 (4): 576–80, doi:10.1145/321850.321854 
  5. ^ Bellman, R., Dynamic programming treatment of the travelling salesman problem, Journal of the ACM, 1962, 9: 61–63, doi:10.1145/321105.321111 .
  6. ^ Held, M.; Karp, R. M., A dynamic programming approach to sequencing problems (PDF), J. SIAM, 1962, 10 (1): 196–210, doi:10.1137/0110015, hdl:10338.dmlcz/103900 .
  7. ^ Björklund, Andreas, Determinant sums for undirected Hamiltonicity, Proc. 51st IEEE Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS '10): 173–182, 2010, ISBN 978-1-4244-8525-3, arXiv:1008.0541, doi:10.1109/FOCS.2010.24 .
  8. ^ Iwama, Kazuo; Nakashima, Takuya, An improved exact algorithm for cubic graph TSP, Proc. 13th Annual International Conference on Computing and Combinatorics (COCOON 2007), Lecture Notes in Computer Science 4598: 108–117, 2007, ISBN 978-3-540-73544-1, doi:10.1007/978-3-540-73545-8_13 .
  9. ^ Proof that the existence of a Hamilton Path in a bipartite graph is NP-complete. Computer Science Stack Exchange. [2019-03-18]. 
  10. ^ Garey, M. R.; Johnson, D. S.; Stockmeyer, L., Some simplified NP-complete problems, Proc. 6th ACM Symposium on Theory of Computing (STOC '74): 47–63, 1974, doi:10.1145/800119.803884 .
  11. ^ Plesńik, J., The NP-completeness of the Hamiltonian cycle problem in planar digraphs with degree bound two (PDF), Information Processing Letters, 1979, 8 (4): 199–201, doi:10.1016/0020-0190(79)90023-1 .
  12. ^ Akiyama, Takanori; Nishizeki, Takao; Saito, Nobuji, NP-completeness of the Hamiltonian cycle problem for bipartite graphs, Journal of Information Processing, 1980–1981, 3 (2): 73–76, MR 596313 .
  13. ^ Itai, Alon; Papadimitriou, Christos; Szwarcfiter, Jayme, Hamilton Paths in Grid Graphs, SIAM Journal on Computing, 1982, 4 (11): 676–686, doi:10.1137/0211056 .
  14. ^ Buro, Michael, Simple Amazons endgames and their connection to Hamilton circuits in cubic subgrid graphs (PDF), Conference on Computers and Games, Lecture Notes in Computer Science 2063: 250–261, 2000, ISBN 978-3-540-43080-3, doi:10.1007/3-540-45579-5_17 .
  15. ^ Chiba, Norishige; Nishizeki, Takao, The Hamiltonian cycle problem is linear-time solvable for 4-connected planar graphs, Journal of Algorithms, 1989, 10 (2): 187–211, doi:10.1016/0196-6774(89)90012-6 
  16. ^ Schmid, Andreas; Schmidt, Jens M., Computing Tutte Paths, Proceedings of the 45th International Colloquium on Automata, Languages and Programming (ICALP'18), to appear., 2018 
  17. ^ Thomason, A. G., Hamiltonian cycles and uniquely edge colourable graphs, Advances in Graph Theory (Cambridge Combinatorial Conf., Trinity College, Cambridge, 1977), Annals of Discrete Mathematics 3: 259–268, 1978, ISBN 9780720408430, MR 499124, doi:10.1016/S0167-5060(08)70511-9 .
  18. ^ Papadimitriou, Christos H., On the complexity of the parity argument and other inefficient proofs of existence, Journal of Computer and System Sciences, 1994, 48 (3): 498–532, MR 1279412, doi:10.1016/S0022-0000(05)80063-7 .