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環論中,商環(或稱剩餘類環)是環對一個理想的商結構。

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定義编辑

 為一 為一雙邊理想。定義下述等價關係

 

 為其等價類的集合,其中的元素記作 ,其中 是該元素在 上任一代表元。我們可以在 上定義環結構:

 
 

以上運算是明確定義的(在第二式中須用到 是雙邊理想)。集合 配合上述運算稱作  商環。根據定義,商映射 是滿的環同態, 為此同態的核。

如果 含單位元 ,則  的單位元。

:若條件弱化為 是左(或右)理想,上述兩式仍可賦予集合 左(或右) -結構。

例子编辑

  • 最平凡的例子是 ,此時分別得到 
  •  ,商環 可視為模運算的代數框架,其中的元素即模 的剩餘類。
  • 商環是構造代數擴張的主要工具。例如取實係數多項式環  ,則商環 與複數域 同構(考慮映射 )。一般而言,設 為一個  上的不可約多項式,則商環 的意義在於抽象地在 上加進 的一個根。

性質编辑

商環由下述泛性質唯一決定(至多差一個同構):

 為商同態;對任何環同態 ,若  ,則存在唯一的同態 ,使得 

事實上,若更設 ,則 是單射。準此, 的同態像無非是 的商環。

理想的性質常與其商環相關,例如當 是交換含幺環時, 素理想(或極大理想)若且唯若 整環(或); 中包含 的理想一一對應於 中的所有理想,此對應由商映射的逆像給出。

文獻编辑