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範疇論裡,一個態射被稱之為單態射,則該態射為一具左消去律態射。亦即,給定一單態射f : XY,則對所有的態射g1, g2 : ZX,均能使得

單態射是單射函數(或稱為一對一函數)在範畤論裡的延伸。單態射的對偶概念為滿態射,後者為滿射函數的延伸。一態射於範疇C 裡為單態射,則該態射於對偶範疇Cop 裡為滿態射。

性質编辑

  • 左反元素的態射必為一單態射。因為,如一態射f 具有一左反元素l(即l 為一態射,且 ),則可知
 
  • 不是每一個單態射都會有左反元素。舉例來說,在由所有所組成的範疇Group裡,如HG 的子群,則其包含映射f : HG 總會是個單態射;但f 於該範疇裡具有一左反元素,若且唯若HG 裡有一正規補群
  • 如態射f 的左反元素為一態射l,則態射f 為態射l 的右反元素,並稱fl截面lf收縮。每個截面都會是個單態射,且每個收縮都會是個滿態射。
  • 一態射f : XY 為單態射,若且唯若對所有的Z,定義一個映射f : Hom(Z, X) → Hom(Z, Y), 使得對所有的態射h : ZXf(h) = fh,則其映射必為單射
  • 具體範疇裡,每個為單射函數的態射均為單態射;換句話說,當態射實際上為集合間的函數時,一態射如為一對一函數,則該態射必為單態射。
  • 集合範疇裡,每個單態射也會是個單射態射。該敘述在大多數可於代數裡自然產生的範疇裡也都成立,如在由所有組成的範疇、由所有組成的範疇,及所有的阿貝爾範疇裡,每個單態射都會是個單射態射。
  • 不是在所有的具體範疇裡,每個單態射都會是個單射態射。舉例來說,在由可除交換群所組成的範疇裡,其中即存在著為單態射,但不為單射態射的群同態,如商映射q : QQ/Z(其中的Q 為由有理數在加法運算下所組成的群,Z 為由整數在加法運算下所組成的群,且Q/Z 為其商群)不是單射(因為每個整數都會映射至0),但為單態射。

另見编辑

參考資料编辑

  • George Bergman (1998), An Invitation to General Algebra and Universal Constructions, Henry Helson Publisher, Berkeley. ISBN 0-9655211-4-1.
  • Francis Borceux (1994), Handbook of Categorical Algebra 1, Cambridge University Press. ISBN 0-521-44178-1.
  • Hazewinkel, Michiel (编), Monomorphism, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
  • Jaap van Oosten, Basic Category Theory