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四維力(英語:four-force)是古典力學中的物理量在相對論中對應的四維版本。

狹義相對論的定義编辑

設有一不變質量m的粒子(m > 0),其四維動量 

 

其中四維速度 c為光速, 乃是尋常概念中的三維空間速度

而四維力 的定義則為四維動量對粒子原時微分

 

牛頓第二定律擴充,我們可以將四維力與四維加速度 作關聯:

 .

在這裡可得如下關係式:

 

以及

 

上述   為三維向量,分別描述粒子的速度動量與作用力。

廣義相對論的調整编辑

廣義相對論中,四維力與四維加速度的關係式不變,然而四維力與四維動量的關係則需從對原時的一般導數改成協變導數

 

此外,我們亦可透過座標轉換的觀念來推導不同座標系之間的力。設有一座標系而粒子在此座標系中暫時靜止,假設我們知道的力的正確表示式,則我們可以透過座標轉換得到另一個座標系中的力的表示式。[1]在狹義相對論中,這個座標變換是勞侖茲變換;在廣義相對論中,則是廣義座標變換。

考慮四維力 作用在一質量為 的粒子,此粒子在一座標系統中暫時靜止。

相對論中的力 在另個以固定相對速度 的座標系中遵守勞侖茲變換 

 

其中 為速度除以光速

廣義相對論中,四維力表示式變成:

 

其中 協變導數運動方程式變成:  

其中 克里斯多福符號。若無外加力,則變成彎曲時空中的測地線方程式。上式中的第二項所扮演的角色是重力場所造成的「力」。

 自由落體參考系 之中力的正確表示式,我們可以使用等效原理來描寫任意座標系 之中的四維力:

 

案例编辑

狹義相對論中,四維勞侖茲力電磁場對帶粒子作用的四維力)可以表示為:

 

其中

  •  電磁張量
  •  為電荷。
  •  四維速度

相關條目编辑

參考文獻编辑

  1. ^ Steven, Weinberg. Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity. John Wiley & Sons, Inc. 1972. ISBN 0-471-92567-5. 

延伸閱讀编辑

  • Rindler, Wolfgang. Introduction to Special Relativity 2nd. Oxford: Oxford University Press. 1991. ISBN 0-19-853953-3.