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在這篇文章內,向量标量分別用粗體斜體顯示。例如,位置向量通常用 表示;而其大小則用 來表示。四維矢量用加有標號的斜體顯示。例如,。為了避免歧意,四維矢量的斜體與標號之間不會有括號。例如,表示平方;而的第二個分量。

電磁學裏,平面電磁波四維頻率 以公式定義為

其中, 是電磁波的頻率 是朝著電磁波傳播方向的單位矢量

四維頻率與自己的內積永遠等於零:

類似地,四維角頻率 以公式定義為

其中, 是電磁波的角頻率

顯然地,

四維波向量 與四維角頻率有密切的關係,定義為

其中, 是電磁波的波向量

在本篇文章裏,閔可夫斯基度規的形式被規定為 ,這是参考了約翰·傑克森John D. Jackson)的著作《經典電動力學》中所採用的形式;並且使用了經典的張量代数以及愛因斯坦求和約定

勞侖茲變換编辑

給予兩個慣性參考系    ;相對於參考系   ,參考系   以速度   移動。對於這兩個參考系,相關的勞侖茲變換矩陣  [1]

 

其中, 勞侖茲因子 貝他因子    分別是參考系   對於參考系   的 x-軸、y-軸、z-軸方向的相對速度     的貝他因子。

設定一個朝著   方向傳播於真空的平面電磁波,對於參考系   ,這平面電磁波以公式表達為

 
 

其中,   分別是電磁波的電場磁場   分別是其波幅  是四維波向量, 四維位置  是位置,   分別垂直於   ,而且  

那麼,對於參考系   ,這平面電磁波以公式表達為

 
 

四維波向量    之間的關係為

 

經過一番運算,可以求得

 

其中,  是參考系   相對於參考系  四維速度  是參考系   相對於參考系   的速度。

在真空裏,四維頻率與四維波向量之間的關係為

 

所以,

 

這也是參考系   的觀察者所觀察到的頻率。

參閱编辑

參考文獻编辑

  1. ^ Jackson, John David, Classical Electrodynamic 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc.: pp. 543–548, 1999, ISBN 978-0-471-30932-1 
  • Woodhouse, N.M.J. Special Relativity. London: Springer-Verlag. 2003: 84–90. ISBN 1852334266. 
  • Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 477–543. ISBN 0-13-805326-X.