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超立方体是6个四维凸正多胞体之一

数学中,四维凸正多胞体英语:convex regular polychoron)是指一类既是的又是的的四维多胞体英语4-polytope(4-多胞形)。它们是正多面体三維)和正多边形二维)的四维类比。它们最先在19世纪被数学家路德维希·施莱夫利所发现,其中五个与五个柏拉图立体一一对应,另外一个(正二十四胞体)没有好的三维类比。

每个四维凸正多胞体必须有同种的同样大小的凸正多面体面面相接构成,并且每个顶点周围必须有相同数量的胞。

目录

特性编辑

下面的表格描述了六个四维凸正多胞体的基本特性,表格的最后一列给出了它们所属的考克斯特群,形象化描述了它们在一系列镜面反射中的抽象群;及这个群的

名称 家族 施莱夫利
符号
顶点 顶点图 对偶 对称群
正五胞体
超棱锥
超正四面体
四维单纯形
单纯形
(n-单纯形)
{3,3,3} 5 10 10
正三角形
5
正四面体
正四面体 (自身对偶) A4 120
正八胞体
超正方体
超立方体
四维立方体
立方形
(n-立方形)
{4,3,3} 16 32 24
正四边形
8
正六面体
正四面体 正十六胞体 B4 384
正十六胞体
超正八面体
四维正轴形
正轴形
(n-正轴形)
{3,3,4} 8 24 32
正三角形
16
正四面体
正八面体 正八胞体 B4 384
正二十四胞体
截半正十六胞体
重正八面体
(沒有好的其他維度類比) {3,4,3} 24 96 96
正三角形
24
正八面体
正六面体 (自身对偶) F4 1152
正一百二十胞体
超正十二面体
重正十二面体
正十二面体形
正五边形形
(n-正五边形形)
{5,3,3} 600 1200 720
正五边形
120
正十二面体
正四面体 正六百胞体 H4 14400
正六百胞体
重正四面体
超正二十面体
正二十面体形
正五边形形
(n-正五边形形)
{3,3,5} 120 720 1200
正三角形
600
正四面体
正二十面体 正一百二十胞体 H4 14400

这6个四维凸正多胞体都是表面与三维球面(S3同胚的单连通多胞体,所以它们的欧拉示性数都为0,因此我们有以下欧拉公式的四维类比:

 

其中 代表零维顶点数, 代表一维棱数, 代表二维面数, 代表三维胞数。

可视化编辑

以下的表格展示了6个四维凸正多胞体的多种二维投影(更多图像可以在各自的页面里找到)。表头给出了多胞体的施莱夫利符号考克斯特符號英语Coxeter-Dynkin digram

正五胞体 正八胞体 正十六胞体 正二十四胞体 正一百二十胞体 正六百胞体
{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}
                                               
皮特里多边形英语Petrie polygon正对的正交线架投影.
           
三维固体填充正交投影
 
正四面体
凸包

(胞在前/顶点在前)
 
立方体凸包
(胞在前)
 
立方体凸包
(胞在前)
 
截半立方体
凸包

(胞在前)
 
截顶菱形
三十面体
凸包

(胞在前)
 
五角化截半
十二面体
凸包

(顶点在前)
线架施莱格尔投影英语Schlegel diagram透视投影
 
(胞在前)
 
(胞在前)
 
(胞在前)
 
(胞在前)
 
(胞在前)
 
(顶点在前)
线架球极投影(四维超球球极投影)
           

参考编辑

外部链接编辑