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四角化六面體

在立方體的每個面上加入四角錐所形成的多面體
四角化六面體
四角化六面體
(按這裡觀看旋轉模型)
類別 卡塔蘭立體
24
36
頂點 14
歐拉特徵數 F=24, E=36, V=14 (χ=2)
面的種類 V4.6.6
DU08 facets.png

等腰三角形
面的佈局英语Face configuration 6{4}+8{6}
頂點圖 V4.6.6
考克斯特符號英语Coxeter-Dynkin diagram CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png
康威表示法 kC
dtO
對稱群 Oh, B3, [4,3], (*432)
對偶 截角正八面體
旋轉對稱群英语Point_groups_in_three_dimensions#Rotation_groups O, [4,3]+, (432)
二面角 143°07′48″
特性 , 面可遞
立體圖 DU08 facets.png
V4.6.6
頂點圖
Truncated octahedron.png
截角正八面體
(對偶多面體)
Tetrakishexahedron net.png
(展開圖)

幾何學中,四角化六面體是一種卡塔蘭立體,其對偶多面體截角正八面體,由24個全等的等腰三角形組成,具有36條邊和14個頂點[1],可以視為在正方體的每個面上加入正四角錐的結果。此外四角化六面體亦可以視為正方形四邊各加一個等腰三角形拼成的正八邊形立體幾何中的推廣。

性質编辑

四角化六面體是一個卡塔蘭立體[2],由24個面、36條邊和14個頂點組成[1],其中24面為24個全等的等腰三角形,是一種二十四面體,其對偶多面體截角八面體[3][4]。在四角化六面體的14個頂點中,有6個頂點是4個等腰三角形的公共頂點,對應的頂角是四面角;另外8個頂點是6個等腰三角形的公共頂點,對應的頂角是六面角[5][6]

此外四角化六面體可以視為在正方體的每個面上加入適當錐高的正四角錐的結果[7],其加入的正四角錐錐高不能高過原本的正方體表面到其外接球的距離,為四分之一倍的立方體邊長[8],若超過則會變成菱形十二面體或星形的四角化六面體。

此外,立方體、八面體和星形八面體都可以以頂點共用的方式,內接在四角化六面體內[8]

體積與表面積编辑

若四角化六面體的最短的邊長為a,則其表面積A體積V[8]

表面積 
體積為 

若其對偶多面體的截角正八面體邊長為a,則對應的四角化六面體之體積V[5]

體積為 

面的組成编辑

四角化六面體由24個全等等腰三角形組成[9]

 

組成四角化六面體的等腰三角形的2個底角為arccos 約為48.19°[10],由三角形內角關係可知頂角約為83.62°[11][10],邊長比為1:1: [12][10]

頂點坐標编辑

若一個四角化六面體對應的對偶多面體邊長為單位長(對應的四角化六面體最短邊長為 單位)且幾何中心位於原點,則其頂點坐標為[13]

 
 
 
 

對稱性编辑

四角化六面體具有Td, [3,3] (*332)的四面體群對稱性英语tetrahedral symmetry,其24個等腰三角形代表四面體對稱的24個基本域。 在球面上,四角化六面體可以透過6個球面大圓來構建。相同的結構也可以透過將立方體在每個正方形面上以正方形的幾何中心為基準將正方形分成四個三角形[14]、或透過將正四面體在每個三角形面上以正三角形的頂點、邊中點和幾何中心為基準將正三角形分成6個三角形來看出。

       

四角化六面體可以投影到球面上,形成球面多面體[15]。在球極平面投影中,四角化六面體的稜可以在平面上形成6個圓或中心徑向線,每個圓或中心徑向線皆代表四面體群對稱性的鏡射線。這6個圓可以分成3組每兩兩一對的正交圓,這三組正交圓,每組在球面上皆可以視為1個正四面形。

球極平面投影 透視投影 施莱格尔投影英语Schlegel diagram
           
[4] [3] [2] 歪斜

正交投影编辑

四角化六面體有三種高對稱性的正交投影,分別為兩種在頂點上的正交投影以及一種在稜上中點的正交投影。 後兩者的對偶圖其對稱性對應於B2和A2考克斯特平面英语Coxeter plane[16][17]

正交投影
投影對稱性 [2] [4] [6]
四角化六面體      
截角八面體      

使用编辑

 
四角化六面體骰子

礦物學中,這種形狀又稱為四六面體[18](英語:tetrahexahedron[19][20]),部分的礦石可以結晶成這種形狀[21][22],例如部分的钙铁榴石[23],以及能在部分的銅和氟的結晶系統中被觀測到。

此外,亦有部份24個面的多面體骰子被設計為四角化六面體的外型[24]

相關多面體與鑲嵌编辑

四角化六面體可以經由八面體的對偶多面體——立方體透過四角化變換構造,即將立方體每個面貼上正四角錐來獲得[7]。其他也是由正八面體或其對偶多面體透過康威變換得到的多面體有:

半正正八面体家族多面体
对称性: [4,3], (*432) [4,3]+, (432) [1+,4,3], (*332) [4,3+], (3*2)
                                                           
                   
{4,3} t0,1{4,3} t1{4,3} t1,2{4,3} {3,4} t0,2{4,3} t0,1,2{4,3} s{4,3} h{4,3} h1,2{4,3}
半正多面体的对偶
                                                           
                   
V4.4.4 V3.8.8 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3 V3.4.4.4 V4.6.8 V3.3.3.3.4 V3.3.3 V3.3.3.3.3

四角化六面體是由等腰三角形組成[10],且對偶多面體由正方形正六邊形組成。同樣由等腰三角形組成,且對偶多面體由正多邊形與正六邊形組成的多面體或鑲嵌圖包括:

*n32變異對稱性 n.6.6 的截角鑲嵌:
對稱性
*n42
[n,3]
球面鑲嵌英语List_of_spherical_symmetry_groups 歐氏鑲嵌英语List_of_planar_symmetry_groups 緊湊雙曲 仿緊雙曲 非緊雙曲
*232
[2,3]
*332
[3,3]
*432
[4,3]
*532
[5,3]
*632
[6,3]
*732
[7,3]
*832
[8,3]...
*∞32
[∞,3]
[12i,3] [9i,3] [6i,3]
截角鑲嵌                      
頂點英语Vertex configuration 2.6.6 3.6.6 4.6.6 5.6.6 6.6.6 7.6.6 8.6.6 ∞.6.6 12i.6.6 9i.6.6 6i.6.6
n角化
鑲嵌
               
英语Face configuration V2.6.6 V3.6.6 V4.6.6 V5.6.6 V6.6.6 V7.6.6 V8.6.6 V∞.6.6 V12i.6.6 V9i.6.6 V6i.6.6

對偶複合體编辑

四角化六面體的對偶複合體,為四角化六面體和截角八面體組合成的複合圖形,稱為複合截角八面體四角化六面體。其共有38個面、72條邊和38個頂點,其尤拉示性數為4,虧格為-1[25]

 

四角化六面體圖编辑

四角化六面體圖
 
分布 4 (6個)
6 (8個)
顶点 14
36
半径 3[26]
直径 3[26]
围长 3
色数 3[26]
色指数 6
對偶圖 截角八面體圖英语Truncated octahedral graph
属性 平面, 可積英语Integral graph

圖論的數學領域中,與四角化六面體相關的圖為四角化六面體圖(Disdyakis Dodecahedral Graph),是四角化六面體之邊與頂點的圖英语1-skeleton[26],是一個阿基米德對偶圖[27]

性質编辑

四角化六面體圖有36條邊和14個頂點,其中為4的頂點有6個、度為6的頂點有8個。[26]

 

特徵多項式[26]

 

參見编辑

參考文獻编辑

  1. Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X.  (Section 3-9)
  2. Wenninger, Magnus, Dual Models, Cambridge University Press, 1983, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 730208, doi:10.1017/CBO9780511569371  (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, Page 14, Tetrakishexahedron)
  3. The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 [1] (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, page 284, Tetrakis hexahedron)
  1. ^ 1.0 1.1 Tetrakis Hexahedron. Honeylocust Media Systems, polyhedra.org. 2006 [2008-08-28]. (原始内容存档于2008-08-28). 
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  3. ^ Eric W. Weisstein. Tetrakis Hexahedron. 密西根州立大學. 1999-05-26 [2019-09-01]. (原始内容存档于2013-06-21). 
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  6. ^ Eugène Catalan. Mémoire sur la Théorie des Polyèdres. Journal de l'École polytechnique. 1865, 41: pp.1–71, +7 plates. 
  7. ^ 7.0 7.1 Ruhnow, M. Duality in simple single atomic type crystal structures. Crystal Research and Technology (Wiley Online Library). 2012, 47 (4): 369––376. 
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  9. ^ Ugo Adriano Graziotti, PLATE 3: Solid Tetrakis Hexahedron, Polyhedra: The Realm of Geometric Beauty, U. A. G., University of San Francisco, 1962 
  10. ^ 10.0 10.1 10.2 10.3 Tetrakis hexahedron. fillygons.ch. [2019-09-03]. (原始内容存档于2019-09-01). 
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  17. ^ 約翰·史坦布里奇英语John Stembridge. More Coxeter Planes. math.lsa.umich.edu. (原始内容存档于date=2017-08-21). 
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  21. ^ 中川宏. 貫入双晶模型の製作 (PDF). [2019-09-01]. (原始内容存档 (PDF)于2019-09-01). 
  22. ^ Tappert, R. and Tappert, M.C. Diamonds in Nature: A Guide to Rough Diamonds. Springer Berlin Heidelberg. 2011: p.26. ISBN 9783642125720. LCCN 2011924333. 
  23. ^ 高田雅介 著. 日本産鉱物の結晶形態 : 高田鉱物標本・結晶図集. 今井裕之. 2010年4月 (日语). 
  24. ^ Kybos, Alea. Properties of Dice (PDF). [7 October 2012]. (原始内容 (PDF)存档于28 May 2012). 
  25. ^ compound of truncated octahedron and tetrakishexahedron. bulatov.org. [2019-09-06]. (原始内容存档于2017-12-06). 
  26. ^ 26.0 26.1 26.2 26.3 26.4 26.5 埃里克·韦斯坦因. Tetrakis Hexahedral Graph. MathWorld. 
  27. ^ 埃里克·韦斯坦因. Archimedean Dual Graph. MathWorld. 

外部連結编辑