在圆柱和球坐标系中的del

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下面是常用于正交曲线坐标系英语Curvilinear coordinates中的一些向量微积分公式。

注释编辑

  • 本文对球坐标使用标准符号ISO 80000-2,它取代了ISO 31-11,(部分其他来源可能有着颠倒θ和φ的定义):
    • 极角表示为θ:它是在z轴与连接原点和目标点的径向向量之间的角度。
    • 方位角表示为φ:它是在x轴与径向向量在xy面上的投影之间的角度。
  • 函数atan2(y, x)可以用于替代数学函数arctan(y/x)。这是由于它的定义域的缘故,经典arctan函数的像为(−π/2, +π/2),而atan2定义的像为(−π, π]

坐标转换编辑

在直角、圆柱和球坐标间的变换[1]
直角 圆柱
直角      
圆柱      
     

单位向量转换编辑

在直角、圆柱和球坐标系间的单位向量转换,从目的坐标的角度。[1]
直角 圆柱
直角 不適用    
圆柱   不適用  
    不適用
在直角、圆柱和球坐标系间的单位向量转换,从源坐标的角度。
直角 圆柱
直角 不適用    
圆柱   不適用  
    不適用

Del公式编辑

在直角、圆柱和球坐标下的del算子的表格
运算 直角坐标 (x, y, z) 圆柱坐标 (ρ, φ, z) 球坐标 (r, θ, φ),这里的θ是极角而φ是方位角α
向量场 A      
梯度 f[1]      
散度 ∇ ⋅ A[1]      
旋度 ∇ × A[1]      
拉普拉斯算子 2f ≡ ∆f[1]      
向量拉普拉斯算子 2A ≡ ∆A  
物质导数α[2] (A ⋅ ∇)B    
张量散度 ∇ ⋅ T
微分位移 d[1]      
微分正规面积 dS      
微分体积 dV[1]      
本页对极角采用 对方位角采用 ,这是在物理学中常用的符号。某些来源在这些公式中对方位角采用 对极角采用 ,这是常用数学符号,如果需要这种数学公式,可对换上表公式中的  

非平凡的演算规则编辑

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  (del的拉格朗日公式
  5.  

直角坐标系推导编辑

 

 


 

  的表达式可以同理得出。

註:第一式中的   時的量值,並非 值乘上 。以下圓柱座標、球座標的推導中亦然。

圆柱坐标系推导编辑

 

 
 
 
 
 

球坐标系推导编辑

 

 

 

 

 

 

单位向量转换公式编辑

坐标参数u的单位向量以如下方式定义,u的小的正值改变导致位置向量  方向上的改变。因此:

 

这里的s弧长参数。

对于两组坐标系  ,依据链式法则

 

现在,使除了一个之外的所有 并在两边除以对应的坐标参数的微分,得到:

 

参见编辑

引用编辑

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics. Pearson. 2012. ISBN 978-0-321-85656-2. 
  2. ^ Weisstein, Eric W. Convective Operator. Mathworld. [23 March 2011]. (原始内容存档于2016-03-03). 

外部链接编辑