域 (数学)
在抽象代数中,體(德語:Körper,英語:Field)是一种集合,在這個集合中可以對集合的非零元素進行加減乘除,其運算的定義與行為就如同有理數還有實數一樣。體的概念是数域以及四则运算的推廣。因此體是一個廣泛運用在代數、數論還有其他數學領域中的代數結構。
「域」的各地常用別名 | |
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中国大陸 | 域 |
港臺 | 體[1] |
體是環的一種。域和一般的環的區別在於域要求它的非零元素可以進行除法運算,這等於說每個非零的元素都要有乘法逆元。體中的運算關於乘法是可交換的。若乘法運算沒有要求可交換則稱為除環(division ring或skew field )。
最有名的體結構的例子就是有理數體、實數體還有複數體。還有其他形式的體,例如有理函數體、代數函數體、代數數體、p進數體等,都很常在數學的領域中被使用或是研究,特別是數論或是代數幾何。此外還有一些密碼學上的安全協定都是依靠著有限體。
在兩個體中的關係被表示成體擴張的觀念。Galois理論,由ÉvaristeGalois在1830年代提出,致力於理解體擴展的對稱性。其中Galois理論還有其他結果,解決了不能用尺規作圖做出三等份角以及化方為圓的問題。此外,還解決了五次方程不能有公式解的問題。
定义编辑
非正式的講,體是種集合,集合中的元素可以做兩種運算,"加法": 和"乘法": , 且要求集合中任意元素 有加法反元素 ,對所有非零元素 有乘法反元素 ,這種性質讓我們可以用以下方法來定義加法和乘法的"反運算",減法: 和除法
定义1编辑
定义2编辑
域是一種交換環(F, +, *),當中加法單位元(0)不等於乘法單位元(1),且所有非零元素有乘法逆元。更簡單講就是:域是可交換除環。
定义3编辑
域是個集合 且帶有加法和乘法兩種運算,這裡“運算”可以想成是種映射,對 ,這映射將此兩元素對應到某元素,且這些運算满足如下性质:
- 在加法和乘法兩種運算上封閉
- , 和 (另一種說法:加法和乘法是 上的二元運算)。
- 加法和乘法符合結合律
- , ,
- 加法和乘法符合交換律
- , ,
- 符合乘法對加法的分配律
- ,
- 存在加法單位
- 在 中有元素 ,使得 ,
- 存在乘法單位
- 在 中有不等於 的元素 ,使得 ,
- 存在加法逆元
- , 使得
- 非零元素存在乘法逆元
- , , 使得
其中“元素 不同於元素 ”的要求排除了平凡的只由一個元素组成的域。
由以上性質可以得出一些最基本的推論:
- 若 ,則 或 。
例子编辑
- 許多常见的数域都是域。比如说,全体複數的集合 对于加法和乘法构成一个域。全体有理数的集合 也是一个域,它是 的子域,并且不包含更小的子域了。
- 代数数域:代数数域是有理数域 的有限扩域,也就是说代数数域是 上的有限维向量空间。代数数域都同构于 的子域,并且这个同构保持 不变,即这个同构把每个有理数都映射到它自身。代数数域是代数数论研究的对象。
- 代数数构成的域:所有的代数数的集合对于加法和乘法构成一个域,记作 。 是有理数域 的代数闭包(见下)。 是特征为零的代数封闭的域的一个例子。
- 全体实数的集合 对于加法和乘法构成一个域。实数域是复数域 的子域,也是一个有序域。后者使得实数域上能够建立起微积分理论。
- 所有的实代数数的集合也构成一个域,它是 的一个子域
- 任意一个有限域的元素个数是一个素数q的乘方,一般记作Fq,就是所谓的伽罗瓦域。任意一个元素个数是素数q的域都同构于Z/pZ = {0, 1, ..., p − 1}。令p = 2,就得到最小的域:F2。F2只含有两个元素0和1,运算法则如下:
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- 设E和F是两个域,E是F的子域,则F是E的 扩域。设x是F中的一个元素,则存在着一个最小的同时包含E和x的F的子域,记作E (x),E (x)称作E在F中关于 x的单扩张。比如说,复数域 就是实数域 在 中关于虚数单位i的单扩张
- 每一个有乘法么元的环R都对应着一个包含它的域,称为它的分式域,记作K(R)。分式域的具体构造方法是定义类似于最简分数的等价类,再将环“嵌入”其中(详见分式域)。可以证明,K(R)是包含R的“最小”的域。
- 设F是一个域,定义F (X)是所有以F中元素为系数的分式的集合,则F (X)是F的一个扩域。F (X)是F上的一个无穷维的向量空间,这是域的超越扩张的一个例子。
- 设F是一个域,p(X)是多项式环F[X]上的一个不可约多项式,则商环F[X]/<p(X)>是一个域。其中的<p(X)>表示由p(X)生成的理想。举例来说,R[X]/<X2 + 1>是一个域(同构于复数域 )。可以证明,F的所有单扩张都同构于此类形式的域。
- 若V是域F上的一个代數簇,则所有V → F 的有理函数构成一个域,称为V的函数域。
- 若S是一个黎曼曲面,则全体S → C 的亚纯函数构成一个域。
- 由于序数的类不是集合,因此在其上定义的尼姆数不能构成真正的域。但它满足域的所有条件,且其任意封闭子集(如小于 的所有自然数构成的子集)都是域。
基本性质编辑
有限體编辑
有限體是一個體有著有限多個元素,其元素個數也跟體的階數相同,按照體的定義,可以知道 為最小的有限體,因為根據定義,一個體至少包含兩個元素 。
通常來說,最簡單的質數階體,就是 ,在這個體上的加法與乘法等同於在整數 上的運算,然後除以n,取它的餘數。這個運算精確的建構了一個體,如果說這個n為質數,通常我們將這個體記作 。
如果我們將向量空間 ,則我們將V稱作有限體向量空間,其中 ,可知這個向量空間中,有 個元素。
如果我們將有限體放入矩陣,也就是 ,則此矩陣的元素有
歷史编辑
歷史上,三個代數中的學科導引到了體的概念:第一個是解多項式方程的問題,第二個是代數數論,第三個則是代數幾何的問題。體的概念始於1770年,由拉格朗日所提出。拉格朗日他觀察到關於三次方程的根x1, x2, x3的置換,在以下的表達
(x1 + ωx2 + ω2x3)3
(其中ω是三次方程的單位根)只產生兩個值。在這方向上,拉格朗日概念上的解釋了由 希皮奧內·德爾·費羅 和 弗朗索瓦·韋達 的經典解法,其解法藉由簡化三次方程關於未知 x 到一個 x3的二次方程。四次方程上也和三次方程一樣有相似的觀察,拉格朗日因此連結的關於體的概念還有群的概念。數學家范德蒙也同樣在1770年有著更全面的延伸。
建構體编辑
伽羅瓦理論编辑
請參見伽羅瓦理論
體的不變量编辑
應用编辑
參見编辑
參考文獻编辑
- ^ 張幼賢等. 學術名詞編譯系列叢書-數學名詞(第四版). 台北市: 國家教育研究院. 2014: p149 [2019-02-09]. ISBN 9789860440454. (原始内容存档于2020-12-06) (中文(臺灣)).