域 (數學)

抽象代数中,(德語:Körper,英語:Field)是一种集合,在這個集合中可以對集合的非零元素進行加法、法、法和法,其運算的定義與行為就如同有理數還有實數一樣。的概念是数域以及四则运算的推廣。因此體是一個廣泛運用在代數、數論還有其他數學領域中的代數結構。

「域」的各地常用別名
中国大陸
港臺[1]

體是環的一種。域和一般的環的區別在於域要求它的非零元素可以進行除法運算,這等於說每個非零的元素都要有乘法逆元。體中的運算關於乘法是可交換的。若乘法運算沒有要求可交換則稱為除環division ring)或skew field

最有名的體結構的例子就是有理數體、實數體還有複數體。還有其他形式的體,例如有理函數體、代數函數體、代數數體、p進數體等,都很常在數學的領域中被使用或是研究,特別是數論或是代數幾何。此外還有一些密碼學上的安全協定都是依靠著有限體。

在兩個體中的關係被表示成體擴張的觀念。Galois理論,由ÉvaristeGalois在1830年代提出,致力於理解體擴展的對稱性。其中Galois理論還有其他結果,解決了不能用尺規作圖做出三等份角以及化方為圓的問題。此外,還解決了五次方程不能有公式解的問題。

定义编辑

非正式的講,體是種集合,集合中的元素可以做兩種運算,"加法":  和"乘法":  , 且要求集合中任意元素   有加法反元素  ,對所有非零元素   有乘法反元素  ,這種性質讓我們可以用以下方法來定義加法和乘法的"反運算",減法:  和除法  

 
 

定义1编辑

域是交换性除环

定义2编辑

域是一種交換環(F, +, *),當中加法單位元(0)不等於乘法單位元(1),且所有非零元素有乘法逆元。更簡單講就是:域是可交換除環

定义3编辑

域是個集合   且帶有加法和乘法兩種運算,這裡“運算”可以想成是種映射,對 ,這映射將此兩元素對應到某元素,且這些運算满足如下性质:

在加法和乘法兩種運算上封閉
    F(另一種說法:加法和乘法是F上的二元運算)。
加法和乘法符合結合律
   
加法和乘法符合交換律
   
符合乘法對加法的分配律
  
存在加法單位
在F中有元素0,使得  
存在乘法單位
在F中有不同于0的元素1,使得  
存在加法逆元
   使得 
非零元素存在乘法逆元
  ,    使得 

其中“元素0不同于元素1”的要求排除了平凡的只由一个元素组成的域。

由以上性质可以得出一些最基本的推论:

−(a * b) =(−a)* b = a *(−b)
a * 0 = 0
如果a * b = 0,则要么a = 0,要么b = 0

例子编辑

  • 許多常见的数域都是域。比如说,全体复数的集合 对于加法和乘法构成一个域。全体有理数的集合 也是一个域,它是 子域,并且不包含更小的子域了。
  • 代数数域:代数数域是有理数域 有限扩域,也就是说代数数域是 上的有限维向量空间。代数数域都同构于 的子域,并且这个同构保持 不变,即这个同构把每个有理数都映射到它自身。代数数域是代数数论研究的对象。
  • 代数数构成的域:所有的代数数的集合对于加法和乘法构成一个域,记作  是有理数域 的代数闭包(见下)。 是特征为零的代数封闭的域的一个例子。
  • 全体实数的集合 对于加法和乘法构成一个域。实数域是复数域 的子域,也是一个有序域。后者使得实数域上能够建立起微积分理论。
  • 所有的实代数数的集合也构成一个域,它是 的一个子域
  • 任意一个有限域的元素个数是一个素数q的乘方,一般记作Fq,就是所谓的伽罗瓦域。任意一个元素个数是素数q的域都同构于Z/pZ = {0, 1, ..., p − 1}。令p = 2,就得到最小的域:F2F2只含有两个元素0和1,运算法则如下:
  0 1
0 0 1
1 1 0
  0 1
0 0 0
1 0 1
  • EF是两个域,EF的子域,则FE扩域。设xF中的一个元素,则存在着一个最小的同时包含ExF的子域,记作E (x)E (x)称作EF中关于 x单扩张。比如说,复数域 就是实数域  中关于虚数单位i的单扩张
  • 每一个有乘法么元的环R都对应着一个包含它的域,称为它的分式域,记作K(R)。分式域的具体构造方法是定义类似于最简分数的等价类,再将环“嵌入”其中(详见分式域)。可以证明,K(R)是包含R的“最小”的域。
  • F是一个域,定义F (X)是所有以F中元素为系数的分式的集合,则F (X)F的一个扩域。F (X)F上的一个无穷维的向量空间,这是域的超越扩张的一个例子。
  • F是一个域,p(X)是多项式环F[X]上的一个不可约多项式,则商环F[X]/<p(X)>是一个域。其中的<p(X)>表示由p(X)生成的理想。举例来说,R[X]/<X2 + 1>是一个域(同构于复数域 )。可以证明,F的所有单扩张都同构于此类形式的域。
  • V是域F上的一个代數簇,则所有V → F 的有理函数构成一个域,称为V函数域
  • S是一个黎曼曲面,则全体S → C 亚纯函数构成一个域。
  • 由于序数不是集合,因此在其上定义的尼姆数不能构成真正的域。但它满足域的所有条件,且其任意封闭子集(如小于 的所有自然数构成的子集)都是域。

基本性质编辑

  • F中的所有非零元素的集合(一般记作F×)是一个關於乘法的阿贝尔群F×的每个有限子群都是循环群
  • 若存在正整数n使得0 = 1 + 1 + ... + 1(n个1),那么这样的n中最小的一个称为这个域的特征,特征要么是一个素数p,要么是0(表示这样的n不存在)。此时 中最小的子域分别是 或有限域 ,称之为 素域
  • 一个交换环是域当且仅当它的理想只有自身和零理想。
  • 选择公理成立的假设下,对每个域F都存在着唯一的一个域G(在同构意义上),G包含FGF代数扩张,并且G代数封闭G称作由F确定的代数闭包。在很多情况下上述的同构并不是唯一的,因此又说GF的一个代数闭包。

有限體编辑

有限體是一個體有著有限多個元素,其元素個數也跟體的階數相同,按照體的定義,可以知道 為最小的有限體,因為根據定義,一個體至少包含兩個元素 

通常來說,最簡單的質數階體,就是 ,在這個體上的加法與乘法等同於在整數 上的運算,然後除以n,取它的餘數。這個運算精確的建構了一個體,如果說這個n為質數,通常我們將這個體記作 

如果我們將向量空間 ,則我們將V稱作有限體向量空間,其中 ,可知這個向量空間中,有 個元素。

如果我們將有限體放入矩陣,也就是 ,則此矩陣的元素有 

歷史编辑

歷史上,三個代數中的學科導引到了體的概念:第一個是解多項式方程的問題,第二個是代數數論,第三個則是代數幾何的問題。體的概念始於1770年,由拉格朗日所提出。拉格朗日他觀察到關於三次方程的根x1, x2, x3的置換,在以下的表達

(x1 + ωx2 + ω2x3)3

(其中ω是三次方程的單位根)只產生兩個值。在這方向上,拉格朗日概念上的解釋了由 希皮奧內·德爾·費羅弗朗索瓦·韋達 的經典解法,其解法藉由簡化三次方程關於未知 x 到一個 x3的二次方程。四次方程上也和三次方程一樣有相似的觀察,拉格朗日因此連結的關於體的概念還有群的概念。數學家范德蒙也同樣在1770年有著更全面的延伸。

建構體编辑

伽羅瓦理論编辑

請參見伽羅瓦理論

體的不變量编辑

應用编辑

參見编辑

參考文獻编辑

  1. ^ 張幼賢等. 學術名詞編譯系列叢書-數學名詞(第四版). 台北市: 國家教育研究院. 2014: p149. ISBN 9789860440454 (中文(台灣)‎).