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數學中的對稱多項式是一种特殊的多元多项式。假设一个n多項式P(X1, X2, ..., Xn),當其中的n個不定元任意交換後,多項式仍維持不變,就称其为对称多项式。严格的说法是,如果对任意的n元置换σ,都有P(Xσ(1), Xσ(2), ..., Xσ(n)) = P(X1, X2, ..., Xn),就说P是对称多项式。

对称多项式最早是在出现在对一元多项式方程求根的研究中。一元多项式方程的系数可以用它的根的多项式来表达。而多项式的任何一个根的地位理当与余者都相同,所以这类多项式中,不定元进行置换不应当改变多项式。从这个角度来说,将多项式方程的根构成的系数多项式称为基本对称多项式是合理的。有定理说明,任意的对称多项式都可以表达为基本对称多项式的多项式。

目录

例子编辑

以下是兩個變數的對稱多項式的例子:

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以下是三個變數的對稱多項式的例子:

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並不是所有多項式都是對稱的,例如  就不對稱,因為把  對換後,會得到 ,不等於原來的多項式。

有很多方法可以構造特殊的 n 個變數的多項式,下面舉一個例子

 

因為將   做置換只是在改變相乘的順序以及在括弧乘以 ±1,不會影響 D 的函數值,因此 D 是對稱多項式。此外,如果  是 n 次首一多项式 f 的 n 個根,則 D 是 f 的判別式。

伽羅瓦理論编辑

對稱多項式出現在單變數手依多項式的研究中。考慮一個上的 n 次多項式,並且有 n 個根,從另一個方便來說,這 n 個根決定了這個多項式,若將 n 個根視為 n 個獨立的變數,則原多項式的各項係數是由 n 個根所形成的對稱多項式。這些由 n 個根生成係數的對稱多項式被稱為初等對稱多項式。

上述觀念可以衍伸出一個解多項式的方法,定義一個映射,將多項式的各項係數送到多項式的所有根,換言之,要解出基本對稱多項式方程組。因此,本映射可以被視為是在「破壞對稱性」。這使我們可以藉由研究根的置換群來求解多項式,這個觀念是勒讓德預解式英语Lagrange resolvent的原型,之後在伽羅瓦理論中會有進一步的發展。

單變數首一多項式的根编辑

更具體的來說,假設 f(t) 是一個以 t 為變數的 n 次首一多項式,即

 

其中係數  是體 K 中的元素。f(t) 在 K 中不見得會有根,但是如果考慮 K 的代數閉包  ,f(t) 在   中一定會有 n 個根  。舉個特殊的例子,如果 K 是實數體  ,則  複數體  。注意到 n 個根會有重複,但下述恆等式一定會成立

 

比較各項係數可以得到根與係數的關係

 

這顯示了多項式的係數   可以被寫成根的對稱多項式,而且不論根如何分布,是否落在原本的體 K 中,是否有重根,皆可以使用相同的對稱多項式表示出原本的係數。

從另一方面來說,如果把 n 個根視為獨立變數,記做  ,原多項式的係數就變成了對稱多項式,這些對稱多項式,忽略前面的係數  ,被定義成初等對稱多項式。換句話說,初等對稱多項式是以 t 為變數的多項式

 

的展開式中的各項係數。

例如當 n=3 時,初等對稱多項式為    

對稱多項式基本定理编辑

對稱多項式基本定理說,n 個變數體 K 上的多項式 f 是一些 n 個變數的初等對稱多項式的代數組合 (經由相加、乘上 K 中的常數、相乘所得到的元素),若且唯若 f 是對稱多項式。

例如當 n=3 時,兩個初等對稱多項式   。對稱多項式  可以被表示成

 

本定理有一個關於直接推論,將首一多項式的 n 個根帶入一個對稱多項式,等於將原多項式的各項係數帶入某個多項式,因此,就算 n 個根只落在代數閉包   中,將它們帶入一個對稱多項式後所得到的數值必定會落在 K 之中。例如牛頓恆等式英语Newton's identities是關於如何用原係數表示 n 個根的等冪次之和。

初等對稱多項式编辑

与等幂和的性质编辑

以下用a表示对称多项式,s表示等幂和:

 

牛顿公式编辑

 [1]

证明如下:

 

 

 

组合公式编辑

两项时使等幂和分解为积与和的组合,如 

 

数学归纳法可证明高维的形式:

 
 
 
 

 

 
 

也可以把对称多项式表达成等幂和:

 
 
 

 

 
 

参见编辑

参考资料编辑

  1. ^ 沈南山. 牛顿(Newton)公式的一个注记及其应用. 数学通报. 2005, (3).