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左圖:由向量的有序集所定義出的定向
右圖:反定向,對應到加上負號的外積
實外代數中,n 階元素的幾何詮釋:n = 0(具有正負號的點),1(具有指向的線段,即向量),2(具有定向的平面元),3(具有定向的體積)。n個向量的外積可以圖像化為n維幾何物體(例如n平行六面體, n橢球);其大小為超體積(hypervolume),其定向的定義由(n − 1)維邊界以及物體內部在哪一側來決定。[1][2]

外代数英语:Exterior algebra)也稱為格拉斯曼代数(Grassmann algebra),以紀念赫爾曼·格拉斯曼

数学上,给定向量空间的外代數,是特定有单位的结合代数,其包含了为其中一个子空间。它记为而它的乘法,称为楔积外积,记为。楔积是结合的和双线性的;其基本性質是它在V上交錯的,也就是:

,對於所有向量

这表示

,對於所有向量,以及
,當 线性相关时。

注意这三个性质只对中向量成立,不是对代数中所有向量成立。

外代数事实上是“最一般的”满足这些属性的代数。这意味着所有在外代数中成立的方程只从上述属性就可以得出。的这个一般性形式上可以用一个特定的泛性质表示,请参看下文。

形式为的元素,其中中,称为-向量。所有-向量生成的的子空间称为-阶外幂,记为。外代数可以写作每个阶幂的直和

该外积有一个重要性质,就是-向量和-向量的积是一个-向量。这样外代数成为一个分次代数,其中分级由给出。这些-向量有几何上的解释:2-向量代表以为边的带方向的平行四边形,而3-向量代表带方向的平行六面体,其边为, , 和

外幂的主要应用在于微分几何,其中他们用来定义微分形式。因而,微分形式有一个自然的楔积。所有这些概念由格拉斯曼提出。

目录

定义及运算律编辑

外代数有很多种等价的定义,下面的定义是最简洁的一个。

定义: 是域  上的一个向量空间,讓 則定義

 

  张量代数理想(即双边理想),该理想是由所有形如 的张量生成的(其中 任意),则将 上的外代数 定义为商代数 ,即

 

并且把 等价类[3]  记为 ,其中  。设 

 

  -阶外幂 th exterior power of  ),称 中的元素为 -向量 -multivector)。

注:

  1.  ,当且仅当 时才有 ,因此,可以把 等同于 ,并且把 记为 ;基于类似的原因,可以把 等同于 ,而且把 记为 。这一点是前面所讲的能够把 记为  的特例和前提。
  2.  时, -向量并不仅限于形如 的元素,例如, 也是2-向量,其中 .
  3. 理想 中的元素并不仅限于形如 的张量,例如,
    1.  , 必定有   .
    2.  , 由于  以及 ,显然有 ,这就有一个推论:所有的二阶对称张量都在理想 中。
    3. 由于上面的两个结论, ,我们有 ,这是因为等式右边的每一项都在 中。对张量 的阶数作数学归纳法,则可以证明: ,  ,总有 
  4.  ,则  作为等价类含有唯一的一个完全反对称的代表元 ,可以把这个 -阶的完全反对称张量等同于 , 详见后面的“反对称算子和外幂”一节。在有些文献中, -向量就是以这种方式定义的。

运算律 将上面的注中的内容用 写出,则分别给出

(1)  ,  

证明如下: 作为等价类,我们从 中任意挑选一个代表元 ,则 而且 。根据商代数的定义,

 

类似地,可以证明 

(2) 根据注3.1中的内容,显然有 .

(3) 根据注3.2中的内容,对任意 成立着

 

注:即使 特征为2,这个公式也是对的,只不过此时有 而已。

(4) 根据商代数的定义以及张量代数的性质,运算 满足结合律分配律

 
 
 

其中 都是任意的。

以前两条性质为例,其证明如下:设张量 分别是 中的代表元,即 ,  ,  , 则

 
 

(5) 根据上面的(3)和(4),用数学归纳法可以证明: 

 

证明从略。

基底和维数编辑

 维数   ,则集合

 

 阶外幂 的一个基。理由如下:给定任何如下形式的楔积

 

则每个向量 可以记为基向量 的一个线性组合;利用楔积的双线性性质,这可以扩张为那些基向量的楔积的线性组合。任何出现同样基向量两次的楔积为0;任何基向量出现的次序不正确的可以重新排序,在交换任何两个基向量的时候变换符号。一般来讲,最后基 -向量前的系数可以用通过积 来描述 矩阵子式来计算。

数一下基元素,我们可以看到 的维数是nk。特别的有,  对于 .

外代数是一个分级代数,是如下直和

 

其维数等于二项式系数之和,也就是 .

例子: 欧氏三维空间的外代数编辑

考虑空间 ,其基为 。一对向量

 
 

的楔积为

 

其中 是三维空间 的基底。

再加一个向量

 ,

这三个向量的楔积是

 

其中 是一维空间 的基底。

空间  , 而空间  。取所有四个子空间的直和得到一个向量空间 ,这是八维向量空间

 .

那么,给定一对8维向量  , 其中 如上给出,而

 ,

  的楔积如下(用列向量表达),

 .

容易验证8维楔积以向量 为乘法幺元。也可以验证该 代数的楔积是结合的(也是双线性的):

 

所以该代数是有单位且结合的。

叉乘的实质,赝向量与赝标量编辑

对三维欧几里得空间 可以建立一个线性同构 如下:任取 右手的标准正交基   ,规定    分别映射为   ,则 的定义与右手的标准正交基如何选取无关。

不难看出,对任意向量  ,这个线性同构把 映射为 。这就是叉乘(向量积)的实质。例如, 平行四边形 的面积向量可以表示为 ,推广之后,高维黎曼流形 中的的二维曲面 的面积用

 

来计算(其中 是度规张量场  上的诱导度规   的坐标分量),由此可以看到外积和叉乘的渊源关系。

物理学中经常要区分的向量极向量)与赝向量轴向量)这两个概念,现在就容易理解了:从根本上说,向量是 中的元素,所以在空间反演变换下会改变方向;而赝向量其实是 中的元素,故在空间反演变换下会改变方向。

类似地,借助于右手的标准正交基,可以把 中的元素 映射为“标量" 。但是,在空间反演变换下它就会原形毕露,所以称它为赝标量。真正的标量在空间反演下是不变的,而赝标量在空间反演下会改变符号。

把 2-向量 映射为向量 以及把 3-向量 映射为一个实数 的映射实际上是一个叫做霍奇对偶线性映射

泛性质及构造编辑

 为一个 (在多数应用中,也就是实数域)上的向量空间。 是“最一般”的包含 的并有一个交替乘法在 上由单位的结合 -代数这个事实可以用如下的泛性质形式化的表达:

任给一个有单位的结合  -代数 和一个 -线性映射 使得 对于每个 属于 成立,则存在恰好一个由单位的代数同态 使得 所有 属于 成立。

要构造最一般的包含 的代数,而且其乘法是在 上交替的,很自然可以从包含 的最一般的代数开始,也就是张量代数 ,然后通过合适的来强制交替的性质。这样我们取 中由所有形为 的元素生成的双边理想 ,其中 属于 ,并定义 

 

(并且使用  中的乘法的代号)。然后可以直接证明 包含 并且满足上述泛性质。

如果不是先定义 然后把外幂 等同为特定的子空间,我们也可以先定义空间 然后把它们合并成为一个代数 。这个方法在微分集合中常常用到,并在下节中有描述。

反对称算子和外幂编辑

给定两个向量空间  ,一个从  反对称算子是一个多线性映射

 

使得只要  线性相关的向量,则

 .

最著名的例子是行列式值,从  的反对称线形算子。

映射

 

它关联 中的 个向量到他们的楔积,也就是它们相应的 -向量,这也是反对称的。事实上,这个映射是定义在 上的“最一般”的反对称算子:给定任何其它反对称算子 ,存在一个唯一的线性映射 。这个泛性质表述了空间 并且可以作为它的定义。

所有从 到基域 的反对称映射组成一个向量空间,因为两个这样的映射的和、或者这样一个映射和一个标量的乘积也是反对称的。若 是有限维的,维数 ,则该空间可以认同为 ,其中 表示 的对偶空间。特别的有,从  的反对称映射的空间是  维的。

在这个等同关系下,若基域是 或者 ,楔积有一个具体的形式:它从两个给定的反对称映射得到一个新的反对称映射。设  为两个反对称映射。和在多线性映射的张量积的情况一样,楔积的变量数是每个映射的变量数之和。它定义如下:

 

其中多线性映射的交替 定义为其变量的所有排列的带符号平均:

 

注意: 有一些书中楔积定义为

 

指标记法编辑

在主要由物理学家使用的指标记法

 

微分形式编辑

 为一个微分流形。一个微分k-形式   余切丛 阶外幂)的一个截面。等价的有:  的光滑函数,对于 的每个点 给定一个 的元素。大致来讲,微分形式是余切向量的全局版本。微分形式是微分几何的重要工具,其中,它们被用于定义德拉姆上同调亚历山大-斯潘尼尔上同调

推广编辑

给定一个交换环 和一个 - ,我们可以定义和上文一样的外代数 ,它是张量代数 适当的商。它会满足类似的泛性质。

物理应用编辑

格拉斯曼代数在物理中有重要应用,它们被用于建模和费米子超对称性相关的各种概念。

参看超空间超代数超群

注释编辑

  1. ^ R. Penrose. The Road to Reality. Vintage books. 2007. ISBN 0-679-77631-1. 
  2. ^ J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne. Gravitation. W.H. Freeman & Co. 1973: 83. ISBN 0-7167-0344-0. 
  3. ^ 由下述等价关系   所形成的等价类:
     

相关课题编辑