打开主菜单

多重指標是數學中一種方便的表示法,它將指標中的單個整數推廣為多個整數,它可以簡化多元微積分偏微分方程分佈理論中的計算,也便於操作冪級數

目录

定義與運算编辑

一個 -維多重指標是一個由整數構成的向量

 

 為多重指標,定義:

 
 
 

應用最廣的是非負的多重指標,此時可以定義:

 
 (假設 
 ,定義 
 其中 

命題。若 是非負的 維多重指標,且 ,則

 

按定義直接操作即可證明。

應用编辑

多元微積分编辑

多重指標可以將單變元微積分的許多結果直接推廣到多變元。以下是幾個例子:

多元冪級數:有兩個以上變元的冪級數通常寫成

 

其中  -維多元指標而 ,以簡化冗長的表法

 

多項展開

 

萊布尼茨公式:設 存在夠高階的導數,則

 

泰勒展開式對一多元解析函數f,當 充分小時有下述展開

 

其實這不外是定義,多元指標在此提供了簡練的表示法。

對於存在夠高階導數的函數,我們也有帶餘項的泰勒展開式

 

其中的最後一項(餘項)有多種表法,例如柯西的積分表法:

 

偏微分算子编辑

一個形式上的 變元 -階偏微分算子能以多重指標寫成

 

分部積分:對有界定義域 上的緊支集光滑函數,我們有

 

此公式用以定義分佈弱導數


文獻编辑

  • Saint Raymond, Xavier (1991). Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators. Chap 1.1 . CRC Press. ISBN 0-8493-7158-9

本條目含有来自PlanetMathmulti-index derivative of a power》的內容,版权遵守知识共享协议:署名-相同方式共享协议