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抽象代數中,多項式環推廣了初等數學中的多項式。一個 上的多項式環是由係數在 中的多項式構成的,其中的代數運算由多項式的乘法與加法定義。在範疇論的語言中,當 為交換環時,多項式環可以被刻劃為交換 -代數範疇中的自由對象

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定義编辑

多項式函數與多項式编辑

在初等數學與微積分中,多項式視同多項式函數,兩者在一般的上則有區別。舉例言之,考慮有限域   上的多項式

 

此多項式代任何值皆零,故給出零函數,但其形式表法非零。

我們寧願將多項式看作形式的符號組合,以得到較便利的代數理論。且考慮多項式在域擴張之下的性質:就函數觀點,多項式函數在域擴張下的行為頗複雜,上述   給出   上的零函數,但視為   上的多項式函數則非零;而就形式觀點,只須將係數嵌入擴張域即可。

形式定義编辑

於是我們採取下述定義:令  。一個單變元   的多項式   定義為下述形式化的表法:

 

其中   屬於  ,稱作  係數,而   視作一個形式符號。兩多項式相等若且唯若每個   的係數均相同。次數最大的非零係數稱為該多項式的領導係數,或者首項係數

更嚴謹的說法或許是將多項式定義為係數的序列  ,使得其中僅有有限項非零。但是我們在實踐上總是用變元   及其冪次表達。

多項式的運算编辑

以下固定環  ,我們將推廣初等數學中熟悉的多項式運算。

環結構编辑

多項式的加法由係數逐項相加定義,而乘法則由下列法則唯一地確定:

  • 分配律:對所有   上的多項式  ,恆有
 
 
  • 對所有  ,有  
  • 對所有非負整數  ,有  

運算的具體表法如下:

  •  
  •  

  是交換環時,  是個   上的代數

多項式的合成编辑

   為另一多項式,則可定義兩者的合成

 

求值编辑

對於任一多項式   ,我們可考慮   求值

 

固定  ,則得到一個環同態  ,稱作求值同態;此外它還滿足

 

導數编辑

微積分中,多項式的微分由微分法則   確定。雖然一般的環上既無拓撲結構更無完備性,我們仍然可形式地定義多項式的導數為:

 
 

這種導數依然滿足    等性質。對於係數在域上的多項式,導數也可以判定重根存在與否。

多變元的情形编辑

上述定義可以推廣到任意個變元(包括無限個變元)的情形。對於有限變元的多項式環  ,也可以採下述構造:

先考慮兩個變元   的例子,我們可以先構造多項式環  ,其次構造  。可以證明有自然同構  ,例如多項式

 

也可以視作

 

 亦同。超過兩個變元的情形可依此類推。

性質编辑

  • R,則  主理想環(事實上還是個欧几里得整环)。
  • R唯一分解環,則   亦然。
  • R整環,則   亦然。
  • R諾特環,則   亦然;這是希爾伯特基底定理的內容。
  • 任一個交換環   上的有限生成代數皆可表成某個   的商環。

在數學中的角色编辑

多項式環對理想的商是構造環的重要技術。例子包括從同餘系  構造有限域,或從實數構造複數等等。

弗羅貝尼烏斯多項式是另一個跟多項式環相關的環,此環的乘法係採用多項式的合成而非乘法。