大斜方截半二十面体

幾何學中,大斜方截半二十面體(英語:Great rhombicosidodecahedron)又稱為截角截半二十面體(英語:Truncated icosidodecahedron)是一種半正多面體,由於其具有點可遞的性質,因此屬於阿基米德立體[1],是十三種由2種以上的正多邊形組成的非柱體幾何圖形之一。

大斜方截半二十面体
大斜方截半二十面体
(按這裡觀看旋轉模型)
類別半正多面體
對偶多面體四角化菱形三十面體在维基数据编辑
識別
名稱大斜方截半二十面体
參考索引U28, C31, W16
鮑爾斯縮寫
verse-and-dimensions的wikiaBowers acronym
grid在维基数据编辑
數學表示法
考克斯特符號
英语Coxeter-Dynkin diagram
施萊夫利符號
tr{5,3}在维基数据编辑
威佐夫符號
英语Wythoff symbol
2 3 5 |
康威表示法bD
taD在维基数据编辑
性質
62
180
頂點120
歐拉特徵數F=62, E=180, V=120 (χ=2)
組成與佈局
面的種類正方形
正六邊形
正十邊形
面的佈局
英语Face configuration
30個{4}
20個{6}
12個{10}
頂點圖4.6.10
對稱性
對稱群Ih
特性
環帶多面體
圖像
立體圖
4.6.10
頂點圖

四角化菱形三十面體
對偶多面體

展開圖

大斜方截半二十面體共有62個面、180條稜和120個頂點,是凸均勻多面體頂點數最多也是稜數最多的多面體。由於其每個面都具有點對稱性(與180°的旋轉對稱等效),因此是一種環帶多面體

命名 编辑

截半二十面體及其截角的結果

名稱截角截半二十面體(英語:Truncated icosidodecahedron)最初由约翰内斯·开普勒給出,但這個名稱有歧義,因為直接將截半二十面體透過截角變換的結果,其所形成的四邊形面是一個長方形而不是正方形,然而這個立體圖形在拓樸上與大斜方截半二十面體等價。

大斜方截半二十面體還有幾個不同的名稱:

性質 编辑

由30个正方形,20个正六边形和12个正十边形组成,有120个顶点和180条棱。除棱柱和反棱柱以外,如果所有的阿基米德立體具有相同的棱长,大斜方截半二十面体将具有最大的表面积和体积。

尺寸 编辑

若一大斜方截半二十面體的邊長為a,則有下列性質:

  • 體積表面積
     [7][8]
     [7][8]
  • 外接球半徑
     [8],由此可知,外接球體積為 ,其值約為 [8]
  • 內切球半徑
     ,由此可知,內切球體積為 ,其值約為 [8]
  • 面心距
    • 正方形面心距為: [8]
    • 正六邊形面心距為: [8]
    • 正十邊形面心距為: [8]
  •  為大斜方截半二十面體的邊心距、十二面體外接球半徑為 、正二十面體外接球半徑為 ,和菱形三十面體長對角線的接球半徑為 。 存在下列等式:
    •  [9]
    •  [9]
    •  [9]
    •  [9]
    •  [9]

作法 编辑

将一个正十二面体正二十面体)三十条棱都切一刀,在二十(十二)个顶点处也切一刀,但是要切的薄一点,就可以得到一个大斜方截半二十面体。

頂點坐標 编辑

在三维笛卡儿坐标系中,以原点为幾何中心,边长2τ-2的大斜方截半二十面体的坐标是以下坐标的全偶排列[10]

1/φ, ±1/φ, ±(3 + φ)),
2/φ, ±φ, ±(1 + 2φ)),
1/φ, ±φ2, ±(−1 + 3φ)),
(±(2φ − 1), ±2, ±(2 + φ)) and
φ, ±3, ±2φ),

其中 黄金分割率

相關多面體與鑲嵌 编辑

   
領結二十面體和領結十二面體的結構可以看做是大斜方截半二十面體的正方形面被分割成兩個梯形[11]

大斜方截半二十面體又稱為截角截半二十面體,是正二十面體截半後再經過特殊的截角變換後的結果,其他也是由正二十面體透過康威變換得到的多面體有:

正二十面体家族半正多面体
對稱群: [5,3]英语Icosahedral symmetry, (*532) [5,3]+, (532)
                                               
               
{5,3} t0,1{5,3} t1{5,3} t0,1{3,5} {3,5} t0,2{5,3} t0,1,2{5,3} s{5,3}
半正多面体对偶
                                               
               
V5.5.5 V3.10.10 V3.5.3.5 V5.6.6 V3.3.3.3.3 V3.4.5.4 V4.6.10 V3.3.3.3.5


大斜方截半二十面體圖 编辑

大斜方截半二十面體圖
 
5階對稱性
顶点120
180
半径15
直径15
围长4
自同构群120 (A5×2)
色数2
属性立方體英语Cubic graph哈密顿正則零對稱性英语Zero-symmetric graph

在圖論的數學領域中,與大斜方截半二十面體相關的圖為大斜方截半二十面體圖又稱為截角截半二十面體圖,是大斜方截半二十面體之邊與頂點的圖英语1-skeleton,是一種阿基米德圖英语Archimedean graph[12]

性質 编辑

大斜方截半二十面體圖與大斜方截半二十面體有相同的拓樸結構,其頂點與邊的數量及結構都與阿基米德立體中的大斜方截半二十面體相同,共有120個頂點和180條邊,是阿基米德圖中,頂點和邊數最多的圖,且是一個位於零對稱性英语Zero-symmetric graph立方體英语Cubic graph的阿基米德圖[12]

施萊格爾圖
 
3階對稱性
 
2階對稱性

參見 编辑

參考文獻 编辑

  1. Cromwell, P.; Polyhedra页面存档备份,存于互联网档案馆), CUP hbk (1997), pbk. (1999).
  2. 埃里克·韦斯坦因. GreatRhombicosidodecahedron. MathWorld. 埃里克·韦斯坦因. Archimedean solid. MathWorld. 
  3. Klitzing, Richard. 3D convex uniform polyhedra x3x5x - grid. bendwavy.org. 
  1. ^ 1.0 1.1 Cromwell, P. Polyhedra. United Kingdom: Cambridge. 1997: 79–86 Archimedean solids. ISBN 0-521-55432-2. 
  2. ^ Wenninger, Magnus英语Magnus J. Wenninger, Polyhedron Models, Cambridge University Press, 1974, ISBN 978-0-521-09859-5, MR 0467493 
  3. ^ Wenninger, (Model 16[2], p. 30)
  4. ^ Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X. 
  5. ^ Williamson[4] (Section 3-9, p. 94)
  6. ^ Cromwell[1] (p. 82)
  7. ^ 7.0 7.1 Weisstein, Eric W. (编). Great rhombicosidodecahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  8. ^ 8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 Harish Chandra Rajpoot. Mathematical analysis of great rhombicosidodecahedron (the largest Ar…. 2015-03-19 [2017-07-03]. (原始内容存档于2018-08-26). 
  9. ^ 9.0 9.1 9.2 9.3 9.4 Robert Whittaker. The Great Rhombicosidodecahedron | polyhedra.mathmos.net. polyhedra.mathmos.net. [2017-07-11]. (原始内容存档于2016-07-04) (英语). 
  10. ^ Weisstein, Eric W. (编). Icosahedral group. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  11. ^ Symmetrohedra: Polyhedra from Symmetric Placement of Regular Polygons页面存档备份,存于互联网档案馆) Craig S. Kaplan
  12. ^ 12.0 12.1 Read, R. C.; Wilson, R. J., An Atlas of Graphs, Oxford University Press: 269, 1998 

外部連結 编辑