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奥尔-索末菲方程英语:Orr–Sommerfeld equation)是流体力学中的一个特征值方程,用以描述黏性平行流动的二维线性扰动模态。当平行层流满足特定条件时,相应的纳维-斯托克斯方程的解会变得不稳定,此时可使用奥尔-索末菲方程判断流体动力稳定性的条件。

奥尔-索末菲方程以威廉·迈克法登·奥尔英语William McFadden Orr阿诺德·索末菲命名。

公式编辑

 
图中所示为管道流动中的基流。

假设经扰动后的流速为

 ,

其中 为未经扰动的基流。扰动速度有类波解 。使用流函数英语Stream function表示流动,由线性纳维-斯托克斯方程可以得到有量纲的奥尔-索末菲方程:

 ,

其中 为流体的动力黏度 为流体密度 为流函数或速度势函数。如不考虑黏性影响,该方程可简化为瑞利方程英语Rayleigh's equation (fluid dynamics)

无量纲形式的奥尔-索末菲方程为:

 ,

其中 为基流的雷诺数 为特征速度, 为管道高度)。壁面(  )的无滑移边界条件为:

  为势函数)

  为流函数)。

方程的特征值为 ,对应的特征向量为 。当波速 的虚部为正时基流不稳定,微小扰动会以指数形式放大。

参考文献编辑

  • Orr, W. M'F. The stability or instability of the steady motions of a liquid. Part I. Proceedings of the Royal Irish Academy. A. 1907, 27: 9–68. 
  • Orr, W. M'F. The stability or instability of the steady motions of a liquid. Part II. Proceedings of the Royal Irish Academy. A. 1907, 27: 69–138. 
  • Sommerfeld, A. Ein Beitrag zur hydrodynamische Erklärung der turbulenten Flüssigkeitsbewegungen. Proceedings of the 4th International Congress of Mathematicians III. Rome. 1908: 116–124.