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威諾格拉德快速傅立葉變換演算法

威諾格拉德快速傅立葉演算法英语:Winograd FFT)是由美國電腦科學家Shmuel Winograd英语Shmuel Winograd在1978年提出。此演算法可以找出最少的乘法運算量。

當把DFT的公式:

用矩陣方式來表示:

如果n是質數,則可以無視第一行與第一列,把n點的DFT用n-1點的迴旋摺積來取代。

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使用方法编辑

使用此演算法,可分為以下幾個步驟,此處以n=5的DFT為例:

 


Step 1:消去第一行與第一列,式子可以改寫如下:

 

Step 2:找出列與行的順序:

a)找出一個原根 a,使得 .

b)用p[n]表示列與行的順序: 

在這例子中,N=5有兩個原根:2與3。取2作為其原根,可得其順序為:1,2,4,3。


故要將此矩陣  的第三列與第四列交換,第三行與第四行交換,把矩陣變成如下:


 

如此第一行與第一列都跟所求得的順序:1,2,4,3一樣,此為circular correlation的形式。

Step 3:為了要符合迴旋摺積的定義(矩陣的對角線的項數相同),故必須再將第二列與第四列交換,第二行與第四行交換,矩陣如下:

 

如此就可把N點DFT用N-1點的DFT來簡化,表示如下:


 

缺點编辑

雖然此演算法有著可以大幅減少乘法量的優點,但相對於此,也有一些缺點:

  • N不同,那硬體的架構也會跟著改變。
  • Time Cycle較多(因為要做兩次N-1點的DFT)。
  • 加法量會增加很多。

其他運用编辑

任意長度的DFT都可以用長度為 點的DFT來簡化,舉例來說:

7點的DFT:先將7點DFT用Winograd簡化成6點DFT,再利用6=2x3,故6點DFT可用2點DFT與3點的DFT來表示,再把3點的DFT用Winograd簡化成2點的DFT,即可把7點的DFT用 點的DFT來簡化。

參考資料编辑

  • Jian-Jiun Ding, Advanced Digital Signal Processing class note,the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2007.
  • S.Winograd, "On computing the discrete Fourier transform," Mathematics of Computation, vol.32,no.141,pp.179-199,Jan.1978.