婆羅摩笈多公式

歐氏平面幾何中,婆羅摩笈多公式是用以計算圓內接四邊形面積的公式,以印度數學家婆羅摩笈多之名命名。一般四邊形的面積公式請見布雷特施奈德公式

基本形式编辑

婆羅摩笈多公式的最簡單易記的形式,是圓內接四邊形面積計算。若圓內接四邊形的四邊長為a, b, c, d,則其面積為:

 

其中s半周長

 

证明编辑

圆内接四边形的面积 =  的面积 +  的面积

 

但由于 是圆内接四边形,因此 。故 。所以:

 
 
 
 

  利用余弦定理,我们有:

 

代入 (这是由于  互补角),并整理,得:

 

把这个等式代入面积的公式中,得:

 
 

它是 的形式,因此可以写成 的形式:

 
 
 

引入 

 

两边开平方,得:

 

证毕。

更特殊情況编辑

若圓O的圆內接四邊形的四邊長為a, b, c, d,且外切于圆C,則其面積為:

 

证明编辑

由于四边形内接于圆O,所以:

 

其中p為半周長:

 

又因为四边形外切圆C,所以:

 

则:

 

同理:

   

综上:

 

证毕。

一般情況编辑

布雷特施奈德公式编辑

對一般四邊形的面積有布雷特施奈德公式,其敘述如下:

 

其中   是四邊形一對對角和的一半。

注意到不論取到哪一對對角   的值都一樣,因為四邊形的內角和是  ,故如果選取到的是另一對角,其對角和的一半是  。而  ,所以有  

假設此時四邊形恰好四頂點共圓,由於圓內接四邊形的對角和為  ,因此  ,而且由  ,可推得此時  ,布雷特施奈德公式恰好退化回婆羅摩笈多公式。

柯立芝公式编辑

另一個由柯立芝所證明的公式如下[1]

 

其中 pq 為四邊形對角線之長。在圓內接四邊形中,根據托勒密定理我們有 ,此公式退化回為婆羅摩笈多公式。

相關定理编辑

海倫公式給出三角形的面積。它是婆羅摩笈多公式取 的特殊情形。

婆羅摩笈多公式的基本形式和擴充形式,就像由勾股定理擴充至餘弦定理一般。

  1. ^ J. L. Coolidge, "A Historically Interesting Formula for the Area of a Quadrilateral", American Mathematical Monthly, 46 (1939) pp. 345-347.