子集
集合A是集合B的子集,是指A的所有元素都是B當中的元素
子集,爲某個集合中一部分的集合,故亦稱部分集合。
- 是的子集(或称包含于);
- ;
- 是的父集/超集(或称包含);
- .
定义编辑
假设有 和 两个集合,如果 中的每个元素都是 的元素,则:
- 是 的 子集,记作
- 也可以说
- 是 的 超集,记作
如果 是 的子集,但 不等于 (即 中至少存在一个元素不在 集合中),则:
- 是 的 真子集,记作
- 也可以说
- 是 的 真超集,记作
符号编辑
符号 表示任何子集关系,符号 表示真子集关系。 也是一个很常見的符号,但其含义容易混淆。
有人用 和 表示任何子集和超集关系,即 和 所分别代表的含义。[1][2][3]所以在这些作者的文章中,对于任意集合 , 始终成立。
也有人用 和 表示真子集和真超集的概念,即 和 所分别代表的含义。[4]:p.6这样 和 就类似于不等符号 和 的关系。例如如果 ,那么 可能等于 也可能不等于,而如果 ,那么 就一定不等于 。换用 表示真子集,如果 ,那么 可能等于 也可能不等于,而如果 ,那么 就一定不等于 。
ISO 80000-2 标准中定义了两种符号搭配:使用 表示子集关系, 表示真子集关系;或者使用 表示子集关系,使用 表示真子集关系。
举例编辑
性质编辑
命题1:空集是任意集合的子集。
这个命题说明:包含是一种偏序关系。
命题2:若 是集合,则:
- 自反性:
- 传递性:
- 若 且 则
这个命题说明:对任意集合 , 的幂集按包含排序是一个有界格,与上述命题相结合,则它是一个布尔代数。
命题3:若 是集合 的子集,则:
- 存在并运算:
- 若 且 则
- 存在交运算:
- 若 且 则
命题4:对任意两个集合 和 ,下列表述等价:
參考文獻编辑
- ^ 離散數學-第三章, [2012-09-07], (原始内容存档于2012-07-03)
- ^ Subsets and Proper Subsets (PDF), [2012-09-07], (原始内容 (PDF)存档于2013-01-23)
- ^ 剑桥大学国际考试院IGCSE数学考纲 (PDF), [2015-03-14], (原始内容存档 (PDF)于2016-03-04)
- ^ Rudin, Walter, Real and complex analysis 3rd, New York: McGraw-Hill, 1987, ISBN 978-0-07-054234-1, MR 0924157
参见编辑
- 冪集:某集合的全部子集组成的集合。