完全数

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完全数Perfect number),又稱完美數完備數,是一些特殊的自然数:它所有的真因子(即除了自身以外的约数)的和,恰好等於它本身,完全数不可能是楔形數平方數佩爾數費波那契數

古氏積木演示完全數6

例如:第一个完全数是6,它有约数1、2、3、6,除去它本身6外,其余3个数相加,,恰好等於本身。第二个完全数是28,它有约数1、2、4、7、14、28,除去它本身28外,其余5个数相加,,也恰好等於本身。后面的数是4968128

十進位的5位數到7位數、9位數、11位數、13到18位數等位數都沒有完全數,它們不是虧數就是盈數

完全數的發現

古希腊数学家欧几里得是通过  的表达式发现前四个完全数的。

  
  
  
  

一个偶数是完美数,当且仅当它具有如下形式: ,其中 是素数,此事實的充分性由欧几里得证明,而必要性則由歐拉所證明。

比如,上面的  对应着  的情况。我们只要找到了一个形如 素数(即梅森素数),也就知道了一个偶完美数。

尽管没有发现奇完全数,但是当代数学家奥斯丁·欧尔证明,若有奇完全数,则其形式必然是  的形式,其中 是素数。

首十個完全數是( A000396):

  1. 6(1位)
  2. 28(2位)
  3. 496(3位)
  4. 8128(4位)
  5. 33550336(8位)
  6. 8589869056(10位)
  7. 137438691328(12位)
  8. 2305843008139952128(19位)
  9. 2658455991569831744654692615953842176(37位)
  10. 191561942608236107294793378084303638130997321548169216(54位)

历史

古代数学家根据當時已知的四个完全数做了很多假设,大部分都是错误的。其中的一个假设是:因为 2、3、5、7 恰好是头 4 个素数,第 5 个完全数应该是第 5 个素数,即当   的时候,可是   并不是素数。因此   不是完全数。另外两个错误假设是:

  • 头四个完全数分别是 1、2、3、4 位数,第五个应该是 5 位数。
  • 完全数应该是交替以 6 或 8 结尾。

事实上,第五个完全数    位数。

对于第二个假设,第五个完全数确实是以   结尾,但是1588年,意大利數學家彼得羅·卡塔爾迪計出第六个完全数  ,仍是以   结尾,只能說歐幾里得的公式給出的完全數以    结尾。卡塔爾迪證明了此結論。此外,還計出第七個完全數137,438,691,328。[1][2][3]

对完全数的研究,至少已经有两千多年的历史。《几何原本》中就提出了寻求某种类型完全数的问题。

每一个梅森素数给出一个偶完全数;反之,每個偶完全數給出一個梅森素數,這結果稱為歐幾里得-歐拉定理。到 2018 年 12 月为止,共发现了 51 个完全数,且都是偶数。最大的已知完全數為   共有   位數。

性质

以下是目前已發現的完全數共有的性質。

   
    
  • 所有的偶完全数都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和,从  
 
 
 
 
  • 每个偶完全数都可以写成连续自然数之和[註 2]
 
 
 
 
  • 除6以外的偶完全数,还可以表示成连续奇立方数之和(被加的项共有 )[註 3]
 
 
 
 
  • 每个完全数的所有约数(包括本身)的倒数之和,都等于2:(這可以用通分證得。因此每個完全數都是歐爾調和數。)
 
 
  • 它们的二进制表达式也很有趣:(因為偶完全數形式均如 
 
 
 
 
 
 
 

奇完全數

未解決的數學問題奇完全數存在嗎?  

用计算机已经证实:在101500以下,没有奇完全数;至今还证明了,如果奇完全数存在,则它至少包含11个不同素数(包含一個不少於7位數的質因子)但不包含3,亦不會是立方數。一般猜测:奇完全数是不存在的。完全数的个数是否为无限?至今都不能回答。

Carl Pomerance提出了一個想法說明奇完全數不太可能存在。[7]

奇完全数的部分条件

  • N > 101500[8]
  • N是以下形式:
 
其中:
  • qp1,…,pk是不同的素数(Euler)。
  • q ≡ α ≡ 1 (mod 4)(Euler)。
  • N的最小素因子必须小于 [9]
  •   ...≡  ≡ 1(mod 3)的关系不能满足(McDaniel 1970)。
  • 要么qα > 1062,要么对于某个j  > 1062[8]
  •  [10][11]
  • N必须可以写成12n+1,468n+117或324n+81(n为整数)的形式。[6]
  • N不能被105整除。[12]
  • N的最大素因子必须大于108[13],并低于  [14]
  • N的第二大素因子必须大于104,并低于 [15][16]
  • N的第三大素因子必须大于100。[17]
  • N至少要有101个素因子,其中至少10个是不同的。[8][18] 如果3不是素因子之一,则至少要有12个不同的素因子。[19]
  • 如果对于所有的i,都有  ≤ 2,那么:
    • N的最小素因子必须大于739(Cohen 1987)。
    • α ≡ 1(mod 12)或α ≡ 9 (mod 12)(McDaniel 1970)。

Touchard定理

這個定理說明若存在奇完全數,其形式必如  。最初的證明在1953年由Jacques Touchard首先證明,1951年van der Pol用非線性偏微分方程得出證明。Judy A. Holdener在《美國數學月刊》第109卷第7期刊證了一個初等的證明。

證明會使用這四個結果:(下面的n,k,j,m,q均為正整數)

  • 歐拉證明了奇完全數的形式必如 [20]
  •  表示 的正因數之和。完全數的定義即為 
     積性函數
  • 引理(甲):若  是正整數),則 非完全數。
  • 引理(乙):若  是正整數),則 非完全數。

引理的證明(甲):

使用反證法,設 為完全數,且 

 。因為3的二次剩餘只有0,1,故 非平方數,因此其正因數個數為偶數。

 有正因數 ,則可得:

  ;或
  

因此, 。故 

 ,矛盾。

 的形式只可能為  

引理的證明(乙):

使用反證法,設 為完全數,且 

 。因為4的二次剩餘只有0,1,故 非平方數,因此其正因數個數為偶數。

 有正因數 ,則可得:

  ;或
  

因此, 。故 

 ,矛盾。

 的形式只可能為 


 ,根據歐拉的結果, ,綜合兩者,得 

  ,得 。若 3倍數,3和 互質。

因為 為積性函數,可得 

 ,出現了矛盾。故知 3倍數。代入 ,可得 

參考

註釋

  1. ^ 亦即,除了6以外的偶完全数,被9除都餘1。
  2. ^ 亦即,每個偶完全數都是三角形數
  3. ^ 這是因為 

參考資料

  1. ^ Dickson, L. E. History of the Theory of Numbers, Vol. I. Washington: Carnegie Institution of Washington. 1919: 10. 
  2. ^ Pickover, C. Wonders of Numbers: Adventures in Mathematics, Mind, and Meaning. Oxford: Oxford University Press. 2001: 360 [2021-11-08]. ISBN 0-19-515799-0. (原始内容存档于2022-03-22). 
  3. ^ Peterson, I. Mathematical Treks: From Surreal Numbers to Magic Circles. Washington: Mathematical Association of America. 2002: 132 [2021-11-08]. ISBN 88-8358-537-2. (原始内容存档于2021-11-08). 
  4. ^ 4.0 4.1 H. Novarese. Note sur les nombres parfaits Texeira J. VIII (1886), 11–16.
  5. ^ 5.0 5.1 Dickson, L. E. History of the Theory of Numbers, Vol. I. Washington: Carnegie Institution of Washington. 1919: 25. 
  6. ^ 6.0 6.1 6.2 Roberts, T. On the Form of an Odd Perfect Number (PDF). Australian Mathematical Gazette. 2008, 35 (4): 244 [2021-03-15]. (原始内容存档 (PDF)于2013-05-14). 
  7. ^ 存档副本. [2006-07-26]. (原始内容存档于2006-12-29). 
  8. ^ 8.0 8.1 8.2 Ochem, Pascal; Rao, Michaël. Odd perfect numbers are greater than 101500 (PDF). Mathematics of Computation. 2012, 81 (279): 1869–1877 [2021-11-03]. ISSN 0025-5718. Zbl 1263.11005. doi:10.1090/S0025-5718-2012-02563-4 . (原始内容 (PDF)存档于2016-01-15). 
  9. ^ Zelinsky, Joshua. On the Total Number of Prime Factors of an Odd Perfect Number (PDF). Integers. 3 August 2021, 21 [7 August 2021]. (原始内容 (PDF)存档于2021-11-03). 
  10. ^ Chen, Yong-Gao; Tang, Cui-E. Improved upper bounds for odd multiperfect numbers.. Bulletin of the Australian Mathematical Society. 2014, 89 (3): 353–359. 
  11. ^ Nielsen, Pace P. An upper bound for odd perfect numbers. Integers. 2003, 3: A14–A22 [23 March 2021]. (原始内容存档于2003-02-21). 
  12. ^ Kühnel, Ullrich. Verschärfung der notwendigen Bedingungen für die Existenz von ungeraden vollkommenen Zahlen. Mathematische Zeitschrift. 1950, 52: 202–211. doi:10.1007/BF02230691 (德语). 
  13. ^ Goto, T; Ohno, Y. Odd perfect numbers have a prime factor exceeding 108 (PDF). Mathematics of Computation. 2008, 77 (263): 1859–1868 [30 March 2011]. Bibcode:2008MaCom..77.1859G. doi:10.1090/S0025-5718-08-02050-9 . (原始内容 (PDF)存档于2011-08-07). 
  14. ^ Konyagin, Sergei; Acquaah, Peter. On Prime Factors of Odd Perfect Numbers. International Journal of Number Theory. 2012, 8 (6): 1537–1540. doi:10.1142/S1793042112500935. 
  15. ^ Zelinsky, Joshua. Upper bounds on the second largest prime factor of an odd perfect number. International Journal of Number Theory. July 2019, 15 (6): 1183–1189. arXiv:1810.11734 . doi:10.1142/S1793042119500659. .
  16. ^ Iannucci, DE. The second largest prime divisor of an odd perfect number exceeds ten thousand (PDF). Mathematics of Computation. 1999, 68 (228): 1749–1760 [30 March 2011]. Bibcode:1999MaCom..68.1749I. doi:10.1090/S0025-5718-99-01126-6 . (原始内容 (PDF)存档于2021-11-03). 
  17. ^ Iannucci, DE. The third largest prime divisor of an odd perfect number exceeds one hundred (PDF). Mathematics of Computation. 2000, 69 (230): 867–879 [30 March 2011]. Bibcode:2000MaCom..69..867I. doi:10.1090/S0025-5718-99-01127-8. (原始内容存档 (PDF)于2013-05-17). 
  18. ^ Nielsen, Pace P. Odd perfect numbers, Diophantine equations, and upper bounds (PDF). Mathematics of Computation. 2015, 84 (295): 2549–2567 [13 August 2015]. doi:10.1090/S0025-5718-2015-02941-X . (原始内容 (PDF)存档于2015-07-08). 
  19. ^ Nielsen, Pace P. Odd perfect numbers have at least nine distinct prime factors (PDF). Mathematics of Computation. 2007, 76 (260): 2109–2126 [30 March 2011]. Bibcode:2007MaCom..76.2109N. arXiv:math/0602485 . doi:10.1090/S0025-5718-07-01990-4. (原始内容 (PDF)存档于2021-11-03). 
  20. ^ [1][永久失效連結]

參見

外部链接