定常系統

在經典力學裏，如果一個系統的所有約束都是定常約束（scleronomous constraint），則稱此系統為定常系統（scleronomous system）。定常約束顯性地不含時間。假若約束顯性地含時間，則稱此約束為非定常約束。

應用编辑

主要項目：廣義速度

在三維空間裏，一個質量為 $m$ 、速度為 $\mathbf {v}$ 的粒子的動能是

T={\frac {1}{2}}mv^{2}

。

速度是位置 $\mathbf {r}$ 對於時間 $t$ 的導數。應用偏微分連鎖律，可以得到

\mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\sum _{i}\ {\frac {\partial \mathbf {r} }{dq_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{dt}}

；

其中， $q_{i}$ 是第 $i$ 個廣義坐標， ${\dot {q}}_{i}$ 是對應的廣義速度。

所以，

T={\frac {1}{2}}m\sum _{i}\ \left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right)^{2}

。

將方程式展開^[1]，動能可以分為三個項目表示：

T=T_{0}+T_{1}+T_{2}

；

其中，

T_{0}={\frac {1}{2}}m\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right)^{2}

，

T_{1}=\sum _{i}\ m{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}

，

T_{2}=\sum _{i,j}\ {\frac {1}{2}}m{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j},\!

。

$T_{0}$ 、 $T_{1}$ 、 $T_{2}$ 分別為廣義速度 ${\dot {q}}_{i}$ 的0次、1次、2次齊次函數。如果這系統是定常系統，位置不顯性地含時間， ${\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}=0$ ，則只有 $T_{2}$ 不等於零。所以， $T=T_{2}$ ，動能是廣義速度的2次齊次函數。