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实变函数论

(重定向自实分析
方波傅立葉級數的前四項。傅立葉級數是實分析的一項重要工具

實分析英语:real analysis,也称作实变函数论英语:theory of real variable function)或實數分析是處理實數及實函數的數學分析。專門實數函數數列的解析特性,包括實數數列的極限,實函數的微分積分連續性光滑性以及其他相關性質。

實分析常以基礎集合論,函數概念定義等等開始。

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內容编辑

實數的構造编辑

有許多種將實數定義為有序域的方式。合成的作法會提供許多實數的公理,將實數變成完備有序。在一般集合论的公理下,可以證明這些公理都是明確的,也就是說有一個公理的模型,任兩個模型都是同构的。這些模型中需要有一個有明確的定義,而大部份的模型都可以用實數為有序域時的基本性質來得到。

實數的有序性编辑

實數有許多重要的特性是和數學中的定義有關,這些性質也是複數所沒有的。其中最重要的是,實數形成有序域,實數的有序滿足反對稱性、傳遞性及完全性,屬於全序关系,而且實數有最小上限屬性。實數中的偏序关系帶來了實變分析中許多重要的定理,例如单调收敛定理介值定理中值定理

在實變分析中這些定理只針對實數,不過許多的結果可以應用在其他的數學對象英语mathematical object。特別是許多泛函分析算子理論英语operator theory中的概念是來自實數中概念的擴展,這類的擴展包括里斯空間英语Riesz space正算子英语positive operator的理論。也有數學家考慮複數數列的實部及虛部,例如算子數列的逐點評估英语strong operator topology

序列编辑

序列是一個定義域可數全序集合的函数,多半會讓定義域是自然數或是所有整數[1]。例如,一個實數的序列為以下定義的映射 ,常會表示為 。若一序列會慢慢的接近一個极限(也就是存在  ),稱此序列為收斂,否則則稱此序列為發散

極限编辑

極限是指函数序列在其輸入接近一定值時,其輸出數值所接近的特定定值[2]。極限是微积分学及廣義数学分析的基礎,連續函數导数积分也是利用極限來定義。

連續函數编辑

函数的輸入及輸出值都是实数,可以表示成笛卡儿坐标系上的图形。粗略來說,若函数图形是一條連續未分割的曲线,其中沒有「洞」或是「斷點」,函數即為連續函數。

針對上述粗略的定義,在數學上有許多嚴謹的定義。這些定義彼此是等价的,因此會用最簡單而方便的定義來確認一個函數是否是連續,在以下的定義中

 

是一個定義在實數 以內子集的函數,子集I稱為函數f的定義域。子集I的一些可能選擇包括 (所有實數)、以下的開區間

 

閉區間

 

因此  是實數。

一致连续是連續函數中,比連續函數更強的性質。若XY實數子集,函數 一致连续的條件是針對所有大於0的實數 ,存在一實數 ,使得針對所有的 即表示 

一致连续和每一點連续的差異在一致连续時, 值只和 值有關,和該值在定義域中的位置無關。一般情況下,連續不意味著均勻連續。

級數编辑

給定一無窮序列  ,即可定義相關的級數為 ,有時會簡稱為 。級數的部份和  。級數 收斂的條件是部份和的數列 收斂,否則級數即稱為發散。收斂級數的和 定義為 .

等比数列的和就是一個收斂級數,也是芝诺悖论的基礎:

 .

以下的調和級數即為發散級數:

 .

(此處 不是嚴謹的表示方式,只是表示部份和會無限制的成長)

微分编辑

函數  位置的導數為以下的函數極限

 

若導數在所有位置都存在,稱函數為可微分,可以再繼續計算函數的高階導數。

也可以將函數依其微分分類來區分。分類 包括所有連續函數,分類 包括所有導數連續的可微函数,這類函數稱為「連續可微」。分類 是指其導數在分類 中的函數。一般來說,分類 可以用递归方式定義,定義方式是宣告分類 是所有的連續函數,而分類  為正整數)是所有可微,而且其導數為 的函數。而分類 包括在分類 中,對所有的正整數 都成立。分類 是所有 的交集,其中 為所有的非負整數。 包括所有的解析函数,是分類 的嚴格子集。

積分编辑

黎曼積分编辑

黎曼積分定義函數的黎曼和,對應為一個區間內的標記分區(tagged partitions)。令 為實數下的封閉區間,則在區間 內的標記分區為有限數列

 

將區間 分隔為 個下標為 子區間 ,每一個用不同的點 來標記。函數f對應標記分區的黎曼和定義為

 

則和的每一項都是長方形的面積,其高為函數在給定子區間內,標示點的數值,寬和子區間的寬相等。令 為子區間 的寬,則標記分區的網格為長子區間中最寬區間的寬度 。函數 在區間 內的黎曼積分等於 若:

對所有 ,存在 使得,對於任何有標示,且網格小於 的區間 ,以下的式子成立
 

若選定的標示都是每個區間內函數的最大值(或最小值),黎曼積分就會成為上(或下)达布和,因此黎曼積分和达布积分有緊密的關係。

勒貝格積分编辑

勒貝格積分是一種積分概念,可以將積分延伸到更大範圍的函數,同時也拓展函數的定义域

分布编辑

分布或是广义函数是一種將函数擴展後產生的概念。透過分布可以針對一些在傳統定義下其導數不存在的函數進行微分(例如单位阶跃函数)。而任何局部可积函数都一定會有广义函数下的導數。

和複變分析的關係编辑

实变函数论是数学分析的一部份,探討像數列及其極限、連續性、函數的导数积分。實變分析專注在实数,多半會包括正負無窮大以形成擴展實軸。實變分析和研究复数對應性質的複分析緊密相關。在複分析中,很自然的會對全純函數定義导数,全純函數有許多有用的性質,包括多次可微、可以用幂级数表示,而且滿足柯西積分公式

實變分析中也很自然的去考慮可微光滑函數调和函数,這些也常常用到,不過仍少了一些複變中全純函數中有力的性質。而且代数基本定理若以複數表示時會比較簡單。

複變中解析函数理論的技巧也可以用在實變分析,例如應用留数定理來計算實變函數的定積分

重要結果编辑

實分析的重要結果包括波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理海涅-博雷尔定理介值定理中值定理微积分基本定理单调收敛定理

實分析的許多概念可以擴展到廣義的度量空间,包括巴拿赫空间希尔伯特空间

相關條目编辑

参考资料编辑

  1. ^ Gaughan, Edward. 1.1 Sequences and Convergence. Introduction to Analysis. AMS (2009). ISBN 0-8218-4787-2. 
  2. ^ Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals 6th. Brooks/Cole. 2008. ISBN 0-495-01166-5.