数学领域,收敛性判别法是判断无穷级数收敛条件收敛绝对收敛区间收敛发散的方法。

无穷级数
无穷级数

判别法列表编辑

通项极限判别法编辑

如果序列通项的极限不为零或无定义,即 ,那么级数不收敛。在这种意义下,部分和是柯西数列的必要条件是极限存在且为零。这一判别法在通项极限为零时无效。

比值审敛法(检比法)编辑

假设对任何的  。如果存在 使得:

 

如果 ,那么级数绝对收敛。如果 ,那么级数发散。如果 ,比例判别法失效,级数可能收敛也可能发散,此时可以考虑高斯判别法。

高斯判别法编辑

 是要判断审敛性的级数,其中(至少从某一项开始) 。倘若其相邻项比值 可以被表示为:

 

其中  都是常数,而 是一个有界的序列,那么

  •   时,级数收敛;
  •   时,级数发散。


根值审敛法(检根法)编辑

 

其中 表示上极限(可能为无穷,若极限存在,則极限值等于上极限)。

如果 ,级数绝对收敛。如果 ,级数发散。如果 ,开方判别法无效,级数可能收敛也可能发散。

积分判别法编辑

级数可以与积分式比较来确定其敛散性。令 为一正项单调递减函数。如果:

 

那么级数收敛。如果积分发散,那么级数也发散。

比較審斂法编辑

如果 是一個絕對收斂級數且對於足夠大的n,有 ,那麼級數 也絕對收斂。

極限比較審斂法编辑

如果 ,并且极限 存在非零,那么 收敛当且仅当 收敛。

交错级数判别法编辑

具有以下形式的级数 。其中所有的 ,被称作交错级数。如果当 趋于无穷时,数列 的极限存在且等于 ,并且每个 小于或等于 (即数列 单调递减的),那么级数收敛。如果 是级数的和 那么部分和 逼近 有截断误差 

阿贝尔判别法编辑

给定两个实数数列  ,如果数列满足 收敛, 单调有界的,则级数 收敛。

参阅编辑

参考文献编辑


外部链接编辑