审敛法

在数学领域，收敛性判别法是判断无穷级数收敛、条件收敛、绝对收敛、区间收敛或发散的方法。

判别法列表

通项极限判别法

如果序列通项的极限不为零或无定义，即$\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}\neq 0$，那么级数不收敛。在这种意义下，部分和是柯西数列的必要条件是极限存在且为零。这一判别法在通项极限为零时无效。

比值审敛法（检比法）

假设对任何的$n$，$a_{n}>0$。如果存在$r$使得：

$\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r$

如果$r<1$，那么级数绝对收敛。如果$r>1$，那么级数发散。如果$r=1$，比例判别法失效，级数可能收敛也可能发散，此时可以考虑高斯判别法。

高斯判别法

设$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$是要判断审敛性的级数，其中（至少从某一项开始）$a_{n}>0$。倘若其相邻项比值${\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}$可以被表示为：

${\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=\lambda +{\frac {\mu }{n}}+{\frac {\theta _{n}}{n^{2}}}$

其中$\lambda$和$\mu$都是常数，而$\theta _{n}$是一个有界的序列，那么

• 当$\lambda >1$或$\lambda =1,\mu >1$时，级数收敛；
• 当$\lambda <1$或$\lambda =1,\mu \leq 1$时，级数发散。

根值审敛法（检根法）

$r=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}$

其中$\limsup$表示上极限（可能为无穷，若极限存在，則极限值等于上极限）。

如果$r<1$，级数绝对收敛。如果$r>1$，级数发散。如果$r=1$，开方判别法无效，级数可能收敛也可能发散。

积分判别法

级数可以与积分式比较来确定其敛散性。令$f(n)=a_{n}$为一正项单调递减函数。如果：

$\int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty$

那么级数收敛。如果积分发散，那么级数也发散。

比較審斂法

如果$\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$是一個絕對收斂級數且對於足夠大的n，有$|a_{n}|\leq |b_{n}|$，那麼級數$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$也絕對收斂。

極限比較審斂法

如果$\left\{a_{n}\right\}\geq 0,\left\{b_{n}\right\}>0$，并且极限$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$存在非零，那么$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$收敛当且仅当$\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$收敛。

交错级数判别法

具有以下形式的级数$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\!$。其中所有的$a_{n}$非负，被称作交错级数。如果当$n$趋于无穷时，数列$a_{n}$的极限存在且等于$0$，并且每个$a_{n}$小于或等于$a_{n-1}$（即数列$a_{n}$是单调递减的），那么级数收敛。如果$L$是级数的和$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=L\!$那么部分和$S_{k}=\sum _{n=0}^{k}(-1)^{n}a_{n}\!$逼近$L$有截断误差$\left|S_{k}-L\right\vert \leq \left|S_{k}-S_{k-1}\right\vert =a_{k}\!$。

阿贝尔判别法

给定两个实数项数列$\{a_{n}\}$和$\{b_{n}\}$，如果数列满足$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$收敛，$\{b_{n}\}$是单调且有界的，则级数$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$收敛。

参阅

• 狄利克雷判别法
• 拉比判别法

外部链接

• Flowchart for choosing convergence test（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Convergence of infinite series（页面存档备份，存于互联网档案馆）