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富比尼定理(英語:Fubini's theorem)是数学分析中有关重积分的一个定理,由数学家圭多·富比尼在1907年提出。富比尼定理给出了使用逐次积分的方法计算双重积分的条件。在这些条件下,不仅能够用逐次积分计算双重积分,而且交换逐次积分的顺序时,积分结果不变。Tonelli定理由数学家 Leonida Tonelli在1909年提出,与富比尼定理相似,但是是应用于非负函数而不是可积函数。

定理编辑

 

其中AB都是σ-有限测度空间,   积可测空间 可测函数,那么

 

前二者是在两个测度空间上的逐次积分,但积分次序不同;第三个是在乘积空间上关于乘积测度的积分。

特别地,如果 ,则

 

如果条件中绝对值积分值不是有限,那么上述两个逐次积分的值可能不同。

非负函数的Tonelli定理编辑

Tonelli定理延续了富比尼定理。Tonelli定理的结论与富比尼定理一样,但是条件从 积分有限改为了 非负。

应用编辑

富比尼定理一个应用是计算高斯积分。高斯积分是很多概率论结果的基础: