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对数恒等式

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数学中,有许多对数恒等式

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代数恒等式编辑

简化计算编辑

对数可以用来简化计算。例如,两个数可以只通过查表和相加而得到乘积。

  對應到  
   
   
   
  歐拉恆等式 

消去指数编辑

同底的对数和指数会彼此消去。这是因为对数和指数是互逆运算(就像乘法和除法那样)。

  因为  
  因为  

换底公式编辑

 

在计算器上计算对数时需要用到这个公式。例如,大多数计算器有lnlog10的按钮,但却没有 的。要计算 ,你只有计算 (或 ,两者结果一样)。

这个公式有许多推论:

 
 
 


 

 是下标 的任意的排列。例如

 

和/差公式编辑

下面的和/差规则对概率论中的对数化概率的计算非常有用:

 

注意在使用时如果 ,等式右边的  必须互换。在 时,因为0的对数无定义,所以此时减法等式无定义。

普通恒等式编辑

  因为  
  因为  

注意 无定义,因为没有一个数 使 成立。

微积分恒等式编辑

极限编辑

 
 
 
 
 
 

最后一个极限经常被总结为“ 的对数增长得比 的任何次方或方根都慢”。

注意:说函数的极限“等于无穷大”是不严密的,因为“无穷大”不是数。上面右边是无穷大的等式的意思是,函数可以无限制的增加/减少。

对数函数的导数编辑

 

积分定义编辑

 

对数函数的积分编辑

 

为了记忆积分,可以方便的定义:

 
 
 
 
 

于是,

 
 

求大数的近似数编辑

对数恒等式可以用来求大数的近似数。 假设我们要得到第44个梅森质数 的近似值。先取对数( 被忽略), 以10为底的对数等于 32,582,657 与 的乘积,计算得到 。再取指数消去对数,得到最后结果为  .

类似地,阶乘的结果可以用每项的对数之和来近似。