对数正态分布

機率分布

概率论统计学中,任意随机变量对数服从正态分布,则这个随机变量服从的分布称为对数正态分布。如果 是正态分布的随机变量,则 指数函数)为对数正态分布;同样,如果 是对数正态分布,则 为正态分布。 如果一个变量可以看作是许多很小独立因子的乘积,则这个变量可以看作是对数正态分布。一个典型的例子是股票投资的长期收益率,它可以看作是每天收益率的乘积。 对于 ,对数正态分布的概率密度函数

对数正态分布
Plot of the Lognormal PMF
μ=0
概率密度函數
Plot of the Lognormal CMF
μ=0
累積分布函數
参数
值域
概率密度函数
累積分布函數
期望值
中位數
眾數
方差
偏度
峰度
矩生成函数(参见原始动差文本)
特徵函数is asymptotically divergent but sufficient for numerical purposes

其中 分别是变量对数平均值標準差。它的期望值

方差

给定期望值与方差,也可以用这个关系求

与几何平均值和几何标准差的关系编辑

对数正态分布、几何平均数几何標準差是相互关联的。在这种情况下,几何平均值等于  ,几何標準差等于  

如果采样数据来自于对数正态分布,则几何平均值与几何标准差可以用于估计置信区间,就像用算术平均数与标准差估计正态分布的置信区间一样。

置信区间界 对数空间 几何
3σ 下界    
2σ 下界    
1σ 下界    
1σ 上界    
2σ 上界    
3σ 上界    

其中几何平均数  ,几何標準差  

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原始为:

 
 
 
 

或者更为一般的矩

 

局部期望编辑

随机变量   在阈值   上的局部期望定义为

 

其中   是概率密度。对于对数正态概率密度,这个定义可以表示为

 

其中   是标准正态部分的累积分布函数。对数正态分布的局部期望在保险业及经济领域都有应用,著名的Black-Scholes期权定价公式便可由此推导出。

参数的最大似然估计编辑

为了确定对数正态分布参数   最大似然估计,我们可以采用与正态分布参数最大似然估计同样的方法。我们来看

 

其中用   表示对数正态分布的概率密度函数,用  — 表示正态分布。因此,用与正态分布同样的指数,我们可以得到对数最大似然函数:

 

由于第一项相对于    来说是常数,两个对数最大似然函数    在同样的    处有最大值。因此,根据正态分布最大似然参数估计器的公式以及上面的方程,我们可以推导出对数正态分布参数的最大似然估计

 

相关分布编辑

  • 如果   ,则  正态分布
  • 如果   是有同样   参数、而   可能不同的统计独立对数正态分布变量 ,并且  ,则   也是对数正态分布变量: 

进一步的阅读资料编辑

参考文献编辑

  • 对数正态分布, Aitchison, J. and Brown, J.A.C. (1957)
  • Log-normal Distributions across the Sciences: Keys and Clues, E. Limpert, W. Stahel and M. Abbt,. BioScience, 51 (5), p. 341–352 (2001).
  • 对数正态分布特性, John Hull, in Options, Futures, and Other Derivatives 6E (2005). ISBN 0-13-149908-4
  • Eric W. Weisstein et al. 对数正态分布 at MathWorld. Electronic document, 2006年10月26日造訪.

参见编辑