对极几何

对极几何立体视觉中的一种几何关系。当两个摄像机从两个不同的位置观察3D场景时,3D点及其在2D图像上的投影之间存在许多几何关系,从而导致图像点之间的约束。这些关系是基于针孔相机模型的假设推导出来的。

对极几何的典型应用
两个相机从不同的角度拍摄同一场景的照片。极线几何述了两个结果视图之间的关系。

定义编辑

图中描绘了两个针孔相机观察兴趣点X的场景。OLOR代表两个相机镜头的对称中心。 X代表两个相机中的兴趣点。点xLxR是点X在图像平面上的投影。在真实的相机中,图像平面实际上位于焦点中心的后面,并产生一个关于镜头焦点中心对称的图像。而在这里,通过将成像平面放置在焦点中心(或光学中心)的前面来等价地简化问题(图像不通过对称性变换)。

 
对极几何

每个摄像头从3D世界捕捉2D图像。这种从3D到2D的转换称为透视投影,并由针孔相机模型描述。通常通过从相机发出并穿过其焦点中心的光线来模拟这种投影操作。每条光线对应于图像中的一个点。

对极点编辑

由于相机镜头的光学中心是不同的,因此每个相机中心都投影到另一个相机图像平面的不同点上。这两个图像点用eLeR表示,称为对极点。两个对极点eLeR在两个相机各自的像平面中,并且落在两个光学中心OLOR的连线上。

对极线编辑

线OLX被因为与左相机中心重合而被左相机视为一个点。但右相机将这条线视为其图像平面中的一条线。右摄像机中的那条线(eRxR)就称为对极线。对称地,右相机视线ORX为一个点,而被左相机视为对极线(eLxL)。

对极线是3D空间中点X的位置的函数,其随着X的变化,在两个图像中都会生成一组对极线。由于线OLX通过透镜OL的光学中心,因此右图中相应的对极线必须通过eR(并且对应于左图中的极线)。一幅图像中的所有对极线都包含该图像的对极点。

对极平面编辑

兴趣点X与两相机中心OLOR三点形成的平面称为对极平面。对极平面与每个相机的图像平面相交形成线即为对极线。无论X位于何处,所有对极平面和对极线都与对极点相交。

对极线约束和三角测量编辑

当两个相机的相对位置已知,则可以导出两个重要的观察推论:

  • 假设投影点xL已知,并且对极线eRxR已知,并且点X投影到右侧图像上的点xR上,该点则位于该特定对极线上。因此对于在一个图像中观察到的每个点,必须在另一个图像中的已知对极线上观察到相同的点。这导出了一个对极线约束X在右相机平面xR上的投影必须包含在对极线eRxR中。所有的点X(OLXL线上的X1X2X 3、... ) 都验证该约束。这意味着可以测试两成像平面上的两个点是否匹配同一个3D点。对极线约束也可以用两个相机之间的基础矩阵本质矩阵英语Essential matrix来描述。
  • 如果点xLxR已知,则它们的投影线也已知。如果两个图像点对应于同一个3D点X ,则投影线必须在X处精确相交。这意味着X可以从两个图像点的坐标中计算出来,这个过程称为三角化英语Triangulation (computer vision)

简化案例编辑

如果两个相机图像平面重合,则对极线几何形状可以被简化。在这种情况下,对极线也重合(eLXL=eRXR)。此外,对极线平行于投影中心之间的OLOR线,并且可以与两个图像的水平轴对齐。因此对于图像中的每个点,它在另一个图像中的对应点可以仅沿着水平线来找到。如果无法以这种方式摆放相机,则可以转换来自摄像机的图像坐标来模拟具有公共图像平面的情况。这个过程称为图像校正英语Image rectification

推扫式传感器的对极几何编辑

与使用二维传感器的传统相机相比,推扫式扫描仪英语Push broom scanner采用一维传感器阵列来产生长的连续图像条。该传感器的对极几何与针孔投影相机的对极几何不同。推扫式传感器的对极线是双曲线,而非直线。其次,对极线“曲线”对不存在。 [1]然而,在某些特殊条件下,卫星图像的对极几何可以被认为是一个线性模型。 [2]

相关条目编辑

引用编辑

更多阅读编辑

  • Vishvjit S. Nalwa. A Guided Tour of Computer Vision. Addison Wesley. 1993: 216–240. ISBN 0-201-54853-4.