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交換子

(重定向自對易算符

抽象代数中,一个群的交換子(commutator)或换位子是一个二元運算子。设gh 是 群G中的元素,他們的交換子g −1 h −1 gh,常記為[ g, h ]。只有当gh符合交换律(即gh = hg)时他们的交换子才是这个单位元

一个群G的全部交换子生成的子群叫做群G导群,记作D(G)

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群論编辑

環論编辑

量子力學编辑

量子力学中,经常用到对易关系commutation relation),即

 

其中;  均为量子力学的算符 是其对易算符,也称交换子

如果上式等于零,则称  对易的,即意味着  两个算符的运算顺序可以调换。反之则称非对易的,运算顺序不可以调换。

量子力學中,交換子有以下特性:

 
 
 
 
 
 

量子力学中的各个力学量之间,常用的对易关系有:

以下, 坐标算符 动量算符 角动量算符(包括轨道角动量、自旋角动量等),而 克罗内克δ 列維-奇維塔符號。其中i、j、k均可以指代x、y、z三个方向中的任意一个。

对易关系 更具体的形式
    
    
      
     

正則對易關係编辑

物理學中,正則對易關係正則共軛的量之間的關係,這樣的量從定義可以發現:一個量是其共軛量的傅立葉變換的結果。舉例來說:

 

上面的xp分別為一維空間中的一點粒子的位置動量,而 為所謂  交換算符 虛數單位 約化普朗克常數,等於 。此一關係常歸功於馬克斯·玻恩,並且此式子暗示了以海森堡為名的不確定性原理

與古典力學的關係编辑

相對於量子力學古典物理中所有可觀測量都可對易(交換),而交換算符會是零;然而仍然有類似的關係存在:需將交換子換成泊松括號,且常數 換成 

 

這樣的觀察導致了保羅·狄拉克提出假設:一般來說,古典的觀測量 其量子對應項 應滿足

 

於1927年,赫尔曼·外尔(Hermann Weyl)指出了量子算符與相空間中古典分布之間的對應關係並不成立。不過他倒是提出了一個機制,稱作魏爾量子化(Weyl quantization),為了一種稱作形變量子化(deformation quantization)的量子化方法提供了數學途徑。

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