量子力学中，经常用到对易关系（commutation relation），即
![[{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57394bd8df1218ed4fe4be88716d657ed3aee846)
；
其中；
、
均为量子力学的算符，![[{\hat {A}},{\hat {B}}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5e06b5842911bfd8dbb8890f05bb5bf9ae90ae7)
是其对易算符，也称交换子。
如果上式等于零，则称 、 是对易的，即意味着 和 两个算符的运算顺序可以调换。反之则称非对易的，运算顺序不可以调换。
量子力學中，交換子有以下特性:
![[{\hat {A}},{\hat {B}}]=-[{\hat {B}},{\hat {A}}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71751561fdf8eb615f1a5edd7ed2e5acf65e913f)
![[{\hat {A}},{\hat {B}}+{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {B}}]+[{\hat {A}},{\hat {C}}],\quad [{\hat {A}}+{\hat {B}},{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {C}}]+[{\hat {B}},{\hat {C}}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83cef7b865023dbbf40833c3a3ef49634082e1fb)
![[{\hat {A}},{\hat {B}}{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {B}}]{\hat {C}}+{\hat {B}}[{\hat {A}},{\hat {C}}],\quad [{\hat {A}}{\hat {B}},{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {C}}]{\hat {B}}+{\hat {A}}[{\hat {B}},{\hat {C}}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91265f173314a577a8d79a23007739e37e58a9fb)
![[{\hat {A}},{\hat {A}}^{n}]=0,\quad n=1,2,3...](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e0b1377734a1894005c2b689bd41341fb181372)
![[k{\hat {A}},{\hat {B}}]=[{\hat {A}},k{\hat {B}}]=k[{\hat {A}},{\hat {B}}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/875f277b4e14aa8f38c00a3d4271c40775417d17)
![[{\hat {A}},[{\hat {B}},{\hat {C}}]]+[{\hat {C}},[{\hat {A}},{\hat {B}}]]+[{\hat {B}},[{\hat {C}},{\hat {A}}]]=0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a497dd909a71fee526b5a92d6cab24a97969b9d8)
量子力学中的各个力学量之间，常用的对易关系有：
以下，
是位置算符、
是动量算符、
是角动量算符（包括轨道角动量、自旋角动量等），而
是克罗内克δ、
是列維-奇維塔符號。其中i、j、k均可以指代x、y、z三个方向中的任意一个。
| 对易关系 |
更具体的形式
|
|---|
![[{\hat {x}}_{i},{\hat {x}}_{j}]=0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab641df0fa40efa95bcb23b0a63a4714bec05f3e) |
![[{\hat {x}},{\hat {x}}]=0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eda216bd340f5a81206678907ede2c8d3a71531) 、![[{\hat {x}},{\hat {y}}]=0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32fc246e393a20c5f612b2fc4149c8985eb28380)
|
![[{\hat {p}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/866693dbe80a3a82eb8008c95ba9769d539d44d8) |
![[{\hat {p}}_{x},{\hat {p}}_{x}]=0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/018d688c818207028d9e6cd1917e2c23556e1fe2) 、![[{\hat {p}}_{x},{\hat {p}}_{y}]=0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58a67655abb2cb9f3065311648991102c74d5087)
|
![[{\hat {x}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar \delta _{{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6e4c1fab8f5cb416b4257732b99639fdeb9dac0) |
![[{\hat {x}},{\hat {p}}_{x}]=i\hbar](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b381467bfc81a02730bc71641cb995e1937703c) 、![[{\hat {x}},{\hat {p}}_{y}]=0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c37af5e6e81f00f1549fa26d17f7e47f9a660bf) 、![[{\hat {y}},{\hat {p}}_{x}]=0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/091546dba28a6ebc1d56d3ce61155d09154b4092) 、![[{\hat {y}},{\hat {p}}_{y}]=i\hbar](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14bd63f22f87bba5f43e4d69b18adfce58d47f91)
|
![[{\hat {L}}_{i},{\hat {L}}_{j}]=i\hbar \epsilon _{{ijk}}{\hat {L}}_{k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72c450a1d388ca0d8d045536f52ad96e981c1eb2) |
![[{\hat {L}}_{x},{\hat {L}}_{y}]=i\hbar {\hat {L}}_{z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07e89c5196ea3bfa9c2f08c58bc42627b279939c) 、![[{\hat {L}}_{y},{\hat {L}}_{z}]=i\hbar {\hat {L}}_{x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2276e5773ca5bec8f3d756a5c2442a7c8c258944) 、![[{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{x}]=i\hbar {\hat {L}}_{y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/528d088a6497677773eef131ba66fda4780e44b2)
|
正則對易關係编辑
物理學中，正則對易關係是正則共軛的量之間的關係，這樣的量從定義可以發現：一個量是其共軛量的傅立葉變換的結果。舉例來說：
![[x,p]=i\hbar](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dda495e8923de3bce36ce44894a0f55a12b291e)
上面的x與p分別為一維空間中的一點粒子的位置與動量，而![[x,p]=xp-px](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed52505a55ee163af3eb7cff200b6941c53ef1cd)
為所謂
與
的交換算符，
是虛數單位，
為約化普朗克常數，等於
。此一關係常歸功於馬克斯·玻恩，並且此式子暗示了以海森堡為名的不確定性原理。
與古典力學的關係编辑
相對於量子力學，古典物理中所有可觀測量都可對易（交換），而交換算符會是零；然而仍然有類似的關係存在：需將交換子換成泊松括號，且常數
換成
：
這樣的觀察導致了保羅·狄拉克提出假設：一般來說，古典的觀測量
其量子對應項
應滿足
![[{\hat f},{\hat g}]=i\hbar \widehat {\{f,g\}}\,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80f908d28f895ef9dde7477023163ecb0416ded9)
。
於1927年，赫尔曼·外尔（Hermann Weyl）指出了量子算符與相空間中古典分布之間的對應關係並不成立。不過他倒是提出了一個機制，稱作魏爾量子化（Weyl quantization），為了一種稱作形變量子化（deformation quantization）的量子化方法提供了數學途徑。
![{\displaystyle [a,b]=ab-ba.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c73ba7fbd6260acd540051cc2c6f9131ff0d7f8e)
2nd, Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-805326-X