對頂角

相交直线产生的对顶角

幾何學中,对顶角是两个角之间的一种位置关系。两条直线相交时会产生一个交点,并产生以这个交点为顶点的四个角。称其中不相邻的两个角互为对顶角。或者说,其中的一个角是另一个的对顶角。

对顶角满足下列定理两直线相交,对顶角相等。

用数学语言描述就是(如右图):

设直线ADBC交于点O。则形成四个角:∠AOB、∠COD、∠AOC、∠BOD。其中,∠AOB和∠COD互为对顶角,∠AOC和∠BOD互为对顶角。∠AOB = ∠COD,∠AOC = ∠BOD。

歷史编辑

泰勒斯生於希臘,是一位擅長於幾何學數學家哲學家。他一生發现了多个几何学定理,包括等腰三角形中的“等边对等角”定理,也包括对顶角定理。

对顶角定理的證明编辑

设直线ADBC交于点O,那么,∠AOB和∠AOC 互为邻补角。根据邻补角的性质,

 

其中 是一个平角的弧度数。

类似地,∠COD和∠AOC 互为邻补角。根据邻补角的性质,

 

因此, 

两边减去相同的角度  后,就得到

 

同样地,可以证明 

用途编辑

对顶角通常用于测量角度以及证明全等三角形。以下是一个利用对顶角证明全等三角形的例子:

如右图,已知AB=CD,∠BAE=∠CDE。求证: 

证明:在△ABE与△DCE中,

 

因此, 


在以上证明中,∠AEB=∠CED的结论就是通过对顶角定理得出的。注意,在一般的几何证明中,对顶角定理并不需要显式地叙述出来,可以当作是默认的条件。

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參考資料编辑