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導出函子

(重定向自導函子

同調代數中,阿貝爾範疇間的某類函子可以「求導」,以獲得相應的導出函子。此概念可以融貫數學中許多領域裡的具體構造。

動機编辑

考慮導出函子的原始目的是從一個短正合序列造出一個長正合序列。具體言之:給定兩個阿貝爾範疇  ,及其間的加法函子  。假設   為左正合函子,換言之,對   中的任一短正合序列

 

下列序列是正合的:

 

由此自然導出一個問題:如何自然地延長此正合序列?  的(右)導出函子是一族函子  ,滿足  ,且有相應的長正合序列:

 

導出函子可以視為   的右正合性的尺度。

構造與初步性質编辑

右導出函子编辑

今假設   中有充足的內射元。設  ,根據假設,存在內射分解

 

取函子  ,得到上鏈複形

 

定義   為其第   個上同調群,特別是有  。注意到兩點:

  • 由於任兩個內射分解彼此同倫等價,函子   在同構的意義下是明確定義的。
  •   是內射對象,取平凡分解  ,可知當   時有  

左導出函子编辑

左導出函子的建構與右導出函子對偶。設   為右正合加法函子,並假設   有充足的射影元。對任一對象  ,取一射影分解

 

取函子  ,得到鏈複形:

 

定義   為其第   個同調群,其性質類似右導出函子。

逆變函子的情形编辑

對於逆變函子也能定義導出函子,此時的導出函子也是逆變函子。較有系統的方法是利用反範疇的概念。

長正合序列编辑

對於右導出函子的情形,任一短正合序列   給出長正合序列

 

對於左導出函子,相應的長正合序列形如

 

此外,這些長正合序列在下述意義下是「自然」的:

  • 短正合列之間的態射導出長正合序列間的態射。
  • 函子間的自然變換導出長正合序列尖的態射。

這些性質是蛇引理的推論。

應用编辑

  • 層上同調:對拓撲空間  ,考慮其上的阿貝爾群層構成的範疇,它有充足的內射元。整體截面函子   是左正合函子,相應的右導出函子即層上同調函子  
  • 平展上同調:平展上同調用於概形上的另一種上同調理論。
  • Ext函子:設   為環,考慮  -模範疇,它有充足的內射元及射影元。對任一  -模  ,函子   為左正合的,其右導出函子記為  
  • Tor函子:同樣考慮  -模範疇,對任一  -模  ,函子   為右正合的,其左導出函子記為  
  • 群上同調:設  。所謂  -模是指被   作用的阿貝爾群 -模範疇可以理解為  -模範疇。對任一  -模  ,定義  ,這是一個左正合函子,其右導出函子即群上同調函子  

推廣编辑

現代的導範疇理論為導出函子提供了一套較廣的框架。

文獻编辑

  • Weibel, Charles A., An introduction to homological algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38. Cambridge University Press, Cambridge, 1994. xiv+450 pp. ISBN 0-521-43500-5; 0-521-55987-1