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数学中,局部可积函数是指在定义域内的所有紧集上都可积函数

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常见定义编辑

 为欧几里得空间 中的一个开集。设 是一个勒贝格可测函数。如果函数 在任意紧集 上的勒贝格积分都存在:

 

那么就称函数 为一个 -局部可积的函数[1]。所有在 上局部可积的函数的集合一般记为 

 可测 

其中  包含的所有的紧集的集合。

一般测度空间编辑

对于更一般的测度空间 ,也可以类似地定义其上的局部可积函数[2]

性质编辑

  • 所有 上的连续函数与可积函数都是 -局部可积的函数。如果 是有界的,那么 上的L2函数也是 -局部可积的函数[3]
  • 局部可积函数都是几乎处处有界的函数 ,也可以类似地定义其上的局部可积函数[4]
  • 复数值的函数 是局部可积函数,当且仅当其实部函数  与虚部函数  都是局部可积函数。实数值的函数 是局部可积函数,当且仅当其正部函数  与负部函数  都是局部可积函数[4]

相关条目编辑

参考来源编辑

  1. ^ Francis Hirsch, Gilles Lacombe. Elements of functional analysis. Springer. 1999年. ISBN 978-0387985244 (英语). 第268页
  2. ^ Jean Alexandre Dieudonné. Treatise on Analysis第2卷. Academic Press. 1976年 (英语). 第181页
  3. ^ John Michael Rassias. Functional analysis, approximation theory, and numerical analysis. World Scientific Publishing Co., Inc. 1994年6月. ISBN 978-981-02-0737-3 (英语). 第25页
  4. ^ 4.0 4.1 Jean Alexandre Dieudonné. Treatise on Analysis第2卷. Academic Press. 1976 (英语). 第180页