伴隨函子

在範疇論中，函子 $F,G$ 若滿足 $\mathrm {Hom} (F(-),-)=\mathrm {Hom} (-,G(-))$ ，則稱之為一對伴隨函子，其中 $G$ 稱為 $F$ 的右伴隨函子，而 $F$ 是 $G$ 的左伴隨函子。伴隨函子在範疇論中是個極基本而有用的概念。

定義编辑

設 $F:{\mathcal {C}}_{1}\to {\mathcal {C}}_{2},\;G:{\mathcal {C}}_{2}\to {\mathcal {C}}_{1}$ 為函子，若存在雙函子的同構

\mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}_{2}}(F(-),-)\simeq \mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}_{1}}(-,G(-))

則稱 $F,G$ 為一對伴隨函子， $G$ 稱為 $F$ 的右伴隨函子，而 $F$ 是 $G$ 的左伴隨函子。

上述同構進一步給出兩個同構

\mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}_{2}}(F\circ G(-),-)\simeq \mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}_{1}}(G(-),G(-))

\mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}_{2}}(F(-),F(-))\simeq \mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}_{1}}(-,G\circ F(-))

分別在同構的左右兩側置 $\mathrm {id} _{F(-)}$ 與 $\mathrm {id} _{G(-)}$ ，遂得到函子間的態射（即自然變換）：

\mathrm {id} _{{\mathcal {C}}_{1}}\to G\circ F\quad

（單位）

F\circ G\to \mathrm {id} _{{\mathcal {C}}_{2}}\quad

（上單位）

定義中的雙函子同構由單位與上單位唯一決定。

正合性编辑

设 $F,G$ 是一對伴隨函子，若 $F$ 為右正合则 $G$ 為左正合；此命題可由正合函子與極限的定義直接導出。

例子编辑

伴隨函子在數學中處處可見，以下僅舉出幾個例子：

自由對象與遺忘函子是一對伴隨函子，舉群範疇為例，此時單位態射不外是集合 $X$ 到它生成的自由群 $F(X)$ 的包含映射。
積與對角函子。
設 $R$ 為環， $M$ 為右 $R$ -模，則 $M\otimes _{R}-:_{R}\mathbf {Mod} \to \mathbf {Ab}$ 與 $\mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} }(-,M):\mathbf {Ab} \to _{R}\mathbf {Mod}$ 為一對伴隨函子。當 $R$ 可交換時，上式的 $\mathbb {Z}$ 可代為 $R$ ， $\mathbf {Ab}$ 可代為 $_{R}\mathbf {Mod}$ 。
層的正像與逆像。
群表示理論中的弗羅貝尼烏斯互反定理（詳閱誘導表示）。