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均差(Divided differences)是遞歸除法過程。在数值分析中,可用於計算牛頓多項式形式的多項式插值的係數。在微积分中,均差与导数一起合称差商,是对函数在一个区间内的平均变化率的测量[1][2][3]

均差也是一种算法查尔斯·巴贝奇差分机,是他在1822年发表的论文中提出的一种早期的机械计算器英语Mechanical_calculator,在历史上意图用来计算对数表和三角函数表, 它设计在其运算中使用这个算法[4]

目录

定義编辑

給定n+1個數據點

 

定義前向均差為:

 

定義後向均差為:

 

表示法编辑

假定數據點給出為函數 ƒ,

 

其均差可以寫為:

 

對函數 ƒ 在節點 x0, ..., xn 上的均差還有其他表示法,如:

 

例子编辑

給定ν=0:

 

為了使涉及的遞歸過程更加清楚,以列表形式展示均差的計算過程[5]

 

展開形式编辑

數學歸納法可證明[6]

 

此公式體現了均差的對稱性質。[7]故可推知:任意调换數據點次序,其值不变。[8]

性质编辑

  • 对称性:若 是一个排列
 
 
 
 

等價定義编辑

通過對換 n 阶均差中(x0,y0)与(xn-1,yn-1),可得到等價定義:

 

這個定義有著不同的計算次序:

 

以列表形式展示這個定義下均差的計算過程[9]

 

牛頓插值法编辑

 
自然哲學的數學原理》的第三編“宇宙體系”的引理五的图例。這裡在橫坐標上有6個點H,I,K,L,M,N,對應著6個值A,B,C,D,E,F,生成一個多項式函數對這6個點上有對應的6個值,計算任意點S對應的值R。牛頓給出了間距為單位值和任意值的兩種情況。

牛頓插值公式,得名於伊薩克·牛頓爵士,最早发表为他在1687年出版的《自然哲學的數學原理》中第三編“宇宙體系”的引理五,此前詹姆斯·格雷果里於1670年和牛頓於1676年已經分別獨立得出這個成果。一般稱其為連續泰勒展開的離散對應。

使用均差的牛顿插值法[10]

 

可以在计算过程中任意增添节点如點(xn+1,yn+1),只需計算新增的n+1階均差及其插值基函數,而无拉格朗日插值法需重算全部插值基函数之虞。

對均差採用展開形式[11]

 

以2階均差牛頓插值為例:

 

前向差分编辑

當數據點呈等距分佈的時候,這個特殊情況叫做“前向差分”。它們比計算一般的均差要容易。

定義编辑

給定n+1個數據點

 

有著

 

定義前向差分為:

 

前向差分所对应的均差为[12]

 

例子编辑

 

展開形式编辑

差分的展開形式是均差展開形式的特殊情況[13]

 

這裡的表達式

 

二項式係數,其中的(n)k是“下降階乘冪”,空積(n)0被定義為1。

插值公式编辑

其對應的牛頓插值公式為:

 

無窮級數编辑

牛頓在1665年得出並在1671年寫的《流數法》中發表了ln(1+x)的無窮級數,在1666年得出了arcsin(x)和arctan(x)的無窮級數,在1669年的《分析學》中發表了sin(x)、cos(x)、arcsin(x)和ex的無窮級數;萊布尼茨在1673年大概也得出了sin(x)、cos(x)和arctan(x)的無窮級數。布魯克·泰勒在1715年著作《Methodus Incrementorum Directa et Inversa》中研討了“有限差分”方法,其中論述了他在1712年得出的泰勒定理,這個成果此前詹姆斯·格雷果里在1670年和萊布尼茨在1673年已經得出,而約翰·伯努利在1694年已經在《教師學報》發表。

他對牛頓的均差的步長取趨於0的極限,得出:

 

冪函數的均差编辑

使用普通函數記號表示冪运算, ,有:

 

此中n+1元m次齊次多項式的記法同於多項式定理

泰勒形式编辑

泰勒級數和任何其他的函數級數,在原理上都可以用來逼近均差。將泰勒級數表示為:

 

均差的泰勒級數為:

 

 項消失了,因為均差的階高於多項式的階。可以得出均差的泰勒級數本質上開始於:

 

依據均差中值定理英语Mean value theorem (divided differences),這也是均差的最簡單逼近。

皮亞諾形式编辑

均差還可以表達為

 

這裡的Bn-1是數據點x0,...,xn的n-1次B樣條,而f(n)是函數f的n階導數。這叫做均差的皮亞諾形式,而Bn-1是均差的皮亞諾核。

註釋與引用编辑

  1. ^ Frank C. Wilson; Scott Adamson. Applied Calculus. Cengage Learning. 2008: 177. ISBN 0-618-61104-5. 
  2. ^ Tamara Lefcourt Ruby; James Sellers; Lisa Korf; Jeremy Van Horn; Mike Munn. Kaplan AP Calculus AB & BC 2015. Kaplan Publishing. 2014: 237. ISBN 978-1-61865-686-5. 
  3. ^ Thomas Hungerford; Douglas Shaw. Contemporary Precalculus: A Graphing Approach. Cengage Learning. 2008: 211–212. ISBN 0-495-10833-2. 
  4. ^ Isaacson, Walter. The Innovators. Simon & Schuster. 2014: 20. ISBN 978-1-4767-0869-0. 
  5. ^
     
  6. ^
     
  7. ^ 《数值分析及科学计算》 薛毅(编) 第六章 第2节 Newton插值. P200.
  8. ^ 《数值分析及科学计算》 薛毅(编) 第六章 第2节 Newton插值. P201.
  9. ^
     
  10. ^ The Newton Polynomial Interpolation
  11. ^
     
  12. ^ Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas. Numerical Analysis 9th. 2011: 129. 
  13. ^
     

参考书目编辑

  • Louis Melville Milne-Thomson. The Calculus of Finite Differences. American Mathematical Soc. 2000. Chapter 1: Divided Differences [1933]. ISBN 978-0-8218-2107-7. 
  • Myron B. Allen; Eli L. Isaacson. Numerical Analysis for Applied Science. John Wiley & Sons. 1998. Appendix A. ISBN 978-1-118-03027-1. 
  • Ron Goldman. Pyramid Algorithms: A Dynamic Programming Approach to Curves and Surfaces for Geometric Modeling. Morgan Kaufmann. 2002. Chapter 4:Newton Interpolation and Difference Triangles. ISBN 978-0-08-051547-2. 

參見编辑