巴苏定理

统计学中,巴苏定理(Basu's Theorem)指出任何有界完全充分统计量与任何辅助统计量独立。 这是Debabrata Basu于1955年发现的结论。[1]

定理陈述编辑

 是可测空间 上的一族分布。如果  的充分且有界完全的统计量, 是关于 的辅助统计量,那么 独立于 

证明编辑

对任意博雷尔集 ,构造函数 。注意到记号 是合理的,因为这一函数不取决于 。第一项不取决于 是因为 的充分性,第二项不取决于 是因为 是关于 的辅助统计量。注意到 有界并且期望为0。因此, 的有界完全性保证了 几乎处处为0。由于 可以是任意博雷尔集,定理得证。

例子编辑

正态分布(方差已知)的样本均值独立于样本方差编辑

X1, X2,..., Xn 是独立同分布的正态分布随机变量,其中方差 已知,均值 未知。

关于参数 可以证明样本均值

 

是充分完全统计量,并且样本方差

 

是辅助统计量,即其分布并不依赖于 

因此,巴苏定理指出二者独立。

尽管上述证明是借助方差已知均值未知的正态分布模型完成的,这一结论并不只在该情况下成立。实际上,无论方差或均值已知与否,正态分布的样本均值和样本方差都是独立的。更进一步,正态分布是唯一具有这一性质的分布[2]

参考文献编辑

  1. ^ Basu, D. On Statistics Independent of a Complete Sufficient Statistic. Sankhyā. 1955, 15 (4): 377–380. JSTOR 25048259. MR 74745. Zbl 0068.13401. 
  2. ^ Geary, R.C. The Distribution of the "Student's" Ratio for the Non-Normal Samples. Supplement to the Journal of the Royal Statistical Society. 1936, 3 (2): 178–184. JFM 63.1090.03. JSTOR 2983669. doi:10.2307/2983669.