布里渊函数和郎之万函数

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布里渊函数和郎之万函数(Brillouin and Langevin functions)是理想顺磁性材料研究中的一对特殊函数

布里渊函数编辑

布里渊函数[1][2]形式为:

 

其中,  为实数,  为正整数或半整数,函数的值域为从-1( )到1( )。

布里渊函数是计算理想顺磁体的磁化强度时引入的。它描述了磁化强度  与外加 磁场   、材料微观磁矩总角动量量子数 J之间的关系。磁化强度由下式给出:[1]

 

其中,  单位体积内原子的数目, g因數英语g-factor (physics) 玻尔磁子  为外场中磁矩的塞曼能英语Zeeman energy与无规热能  之比:

 

其中, 波尔兹曼常数  为绝对温度。

郎之万函数编辑

 
郎之万函数 (红线) 与   (蓝线)。

在经典极限,磁矩可以连续地沿外场取向, ,布里渊函数可以化简为郎之万函数,形式为:

 

高分子物理学中,受外力拉伸的理想高分子链的平均末端距也用郎之万方程描述:[3]

 

其中, 库恩长度 为高分子链长, 为施加在链末端的外力。

x为小量时,郎之万函数可由其截断的泰勒级数近似:

 

郎之万函数还可以由以下连分式近似:

 

郎之万函数的逆函数可由下式近似:[4]

 

其中,x的取值范围为(-1, 1)。

当x比较小时,一个更好的近似为:

 

郎之万逆函数的泰勒级数为:[5]

 

高温极限编辑

  时,即  很小,磁矩可以由居里定律近似:

 

其中   为常数,   为有效波尔磁子数目。

强场极限编辑

 ,布里渊函数的值趋于 1,材料的磁化强度饱和,磁矩的取向完全沿外场方向,于是有

 

参考文献编辑

  1. ^ 1.0 1.1 C. Kittel, Introduction to Solid State Physics (8th ed.), pages 303-4 ISBN 978-0-471-41526-8
  2. ^ Darby, M.I. Tables of the Brillouin function and of the related function for the spontaneous magnetization. Brit. J. Appl. Phys. 1967, 18 (10): 1415–1417. Bibcode:1967BJAP...18.1415D. doi:10.1088/0508-3443/18/10/307. 
  3. ^ Michael Rubinstein and Ralph H. Colby. Polymer Physics. Oxford University Press. 2003: 76. ISBN 978-0-19-852059-7. 
  4. ^ Cohen, A. A Padé approximant to the inverse Langevin function. Rheologica Acta. 1991, 30 (3): 270–273. doi:10.1007/BF00366640. 
  5. ^ Johal, A. S.; Dunstan, D. J. Energy functions for rubber from microscopic potentials. Journal of Applied Physics. 2007, 101 (8): 084917. Bibcode:2007JAP...101h4917J. doi:10.1063/1.2723870.