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希尔伯特的23个问题

希尔伯特的23个问题是德國數學家大衛·希爾伯特(David Hilbert)於1900年在巴黎舉行的第二届国际数学家大会上作了题为《数学问题》的演讲,所提出23道最重要的数学问题。希尔伯特问题对推动20世纪数学的发展起了积极的推动作用。在许多数学家努力下,希尔伯特问题中的大多数在20世纪中得到了解决。

希尔伯特问题中未能包括拓扑学微分几何等领域,除数学物理外很少涉及应用数学,更不曾预料到电脑的发展将对数学产生重大影响。20世纪数学的发展实际上远远超出了希尔伯特所预示的范围。

希尔伯特问题中的1-6是数学基础问题,7-12是数论问题,13-18属于代数几何问题,19-23属于数学分析

目录

问题解決進度编辑

以下列出希尔伯特的23個問題:

# 主旨 進展 說明
第1题 连续统假设 部分解决 1963年美国数学家保羅·柯恩力迫法(forcing)證明連續統假設不能由策梅洛-弗蘭克爾集合論(ZF或ZFC)推導。也就是說,連續統假設成立與否無法由ZFC確定。
第2题 算术公理之相容性 部分解决 庫爾特·哥德爾在1930年證明了哥德爾不完備定理,但此定理是否已回答了希尔伯特的原始问题,数学界没有共识。
第3题 四面體有相同体积之证明法 已解决 答案:否。希爾伯特的學生馬克斯·德恩以一反例證明了是不可以的。
第4题 建立所有度量空间使得所有线段为測地線 太隐晦 希爾伯特對於這個問題的定義過於含糊。
第5题 所有连续是否皆为可微群 已解决 1953年日本數學家山邊英彥证明在无“小的子群”情况下,答案是肯定的;但此定理是否已回答了希尔伯特的原始问题,数学界仍有争论。
第6题 公理化物理 未解决 有很多人質疑物理学是否可以完全被公理化,且此问题超出了纯数学的范畴。
第7题 b無理數a是除01之外的代數數,那么ab是否超越數 已解決 答案:是。分別於1934年、1935年由苏联数学家亚历山大·格尔丰德與德国数学家特奥多尔·施耐德獨立地解決
第8题 黎曼猜想哥德巴赫猜想孪生素数猜想 未解决 虽然分别有比较重要的突破和被解决的弱化情况,三个问题均仍未被解决。
第9题 任意代数数域的一般互反律 部分解决 1927年德国的埃米爾·阿廷证明在阿贝尔扩张的情况下答案是肯定的;此外的情况则尚未证明。
第10题 不定方程可解性 已解决 答案:否。1970年由苏联数学家尤里·马季亚谢维奇证明。
第11题 代数系数之二次形式 部分解决 有理數的部分由哈塞於1923年解決。
第12题 一般代数数域的阿贝尔扩张 未解决 Hecke用希尔伯特模形式研究了实二次域的情形。虚二次域的情形用复乘理论已基本解决。一般情况下则尚未解决。
第13题 二元函數解任意七次方程 部分解决 1957年柯尔莫哥洛夫弗拉基米尔·阿诺德證明对于单值函数,答案是否定的;然而希尔伯特原本可能希望证明的是多值函数的情形,因此该问题未获得完全解答。
第14题 证明一些函數完全系統(Complete system of functions)之有限性 已解决 答案:否。1962年日本人永田雅宜提出反例。
第15题 舒伯特演算英语Schubert calculus之严格基础 部分解决 一部分在1938年由范德瓦登得到嚴謹的證明。
第16题 代数曲线表面拓撲結構 未解决
第17题 有理函數写成平方和分式 已解决 答案:是。1927年埃米爾·阿廷(Emil Artin)解决此问题,并提出實封閉域
第18题 非正多面體能否密铺空间、球體最紧密的排列 已解决 1910年比伯巴赫做出「n維空間由有限多個群嵌成」。2014年完成了开普勒猜想的形式化证明。
第19题 拉格朗日系统(Lagrangian)之解是否皆可解析(Analytic) 已解决 1956年至1958年Ennio de Giorgi英语Ennio de Giorgi約翰·福布斯·納什分別用不同方法證明。
第20题 所有有边界條件的变分问题(Variational problem)是否都有解 已解决
第21题 证明有线性微分方程有給定的單值群(monodromy group) 已解决
第22题 将解析关系(analytic relations)以自守函数英语Automorphic function一致化 已解决 1904年由保罗·克伯英语Paul Koebe龐加萊取得解決。
第23题 變分法的长远发展 太隐晦

参阅编辑

文獻编辑

  • Gray, Jeremy J. The Hilbert Challenge. Oxford University Press. 2000. ISBN 0-19-850651-1. 
  • Yandell, Benjamin H. The Honors Class. Hilbert's Problems and Their Solvers. A K Peters. 2002. ISBN 1-56881-141-1. 
  • Thiele, Rüdiger. On Hilbert and his twenty-four problems. (编) Van Brummelen, Glen. Mathematics and the historian’s craft. The Kenneth O. May Lectures. CMS Books in Mathematics/Ouvrages de Mathématiques de la SMC 21. 2005: 243–295. ISBN 0-387-25284-3 
  • Dawson, John W. Jr. Logical Dilemmas, The Life and Work of Kurt Gödel. AK Peters, Wellesley, Mass. 1997: A wealth of information relevant to Hilbert's "program" and Gödel's impact on the Second Question, the impact of Arend Heyting's and Brouwer's Intuitionism on Hilbert's philosophy. 
  • Felix E. Browder (editor), Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics XXVIII (1976), American Mathematical Society. A collection of survey essays by experts devoted to each of the 23 problems emphasizing current developments.
  • Matiyasevich, Yuri. Hilbert's Tenth Problem. MIT Press, Cambridge, Massachusetts. 1993: An account at the undergraduate level by the mathematician who completed the solution of the problem. ISBN 0262132958. 
  • Nagel, Ernest; Newman, James R. Douglas Hofstadter, 编. Gödel's Proof: Edited and with a New Foreword by Douglas R. Hofstadter. New York University Press, NY. 2001. ISBN 0-8147-5816-9. 
  • Reid, Constance. Hilbert. Springer-Verlag, New York. 1996. ISBN 978-0387946740. 
Specific

外部链接编辑