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希尔伯特-施密特算子

数学中,一个希尔伯特-施密特算子(英语:Hilbert–Schmidt operator)(得名于大卫·希尔伯特埃哈德·施密特英语Erhard Schmidt), 是希尔伯特空间H上的有界算子A,有有限的希尔伯特-施密特范数

其中H上的范数,H上的一组标准正交基Tr是非负自伴算子的[1][2]这里指标集不一定可数。这个定义不依赖于基底的选择,所以有

其中p = 2时的Schatten范数英语Schatten norm。在欧几里得空间中,也被称为弗罗贝尼乌斯范数,得名于费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯。

两个希尔伯特-施密特算子的乘积有有限的迹类范数;因此,如果AB是两个希尔伯特-施密特算子,希尔伯特-施密特内积可以如下定义

希尔伯特-施密特算子构成一个H上的有界算子Banach代数英语Banach algebra的双边*理想。它们构成一个希尔伯特空间,可以证明自然等距同构到希尔伯特空间的张量积英语Tensor product of Hilbert spaces

其中H是H对偶空间

希尔伯特-施密特算子的集合在范数拓扑下是闭集,当且仅当H是有限维空间。

一类重要的例子是希尔伯特-施密特积分算子英语Hilbert–Schmidt integral operator

希尔伯特-施密特算子是二阶核型算子英语Nuclear operator,因此是紧的。

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参考文献编辑

  1. ^ Moslehian, M.S. Hilbert–Schmidt Operator (From MathWorld). 
  2. ^ Voitsekhovskii, M.I., H/h047350, (编) Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4