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数学分析中,常微分方程(英語:ordinary differential equation,簡稱ODE)是未知函数只含有一个自变量的微分方程。对于微积分的基本概念,请参见微积分微分学积分学等条目。

很多科学问题都可以表示为常微分方程,例如根据牛顿第二运动定律物体的作用下的位移 时间 的关系就可以表示为如下常微分方程:

其中 是物体的质量 是物体所受的力,是位移的函数。所要求解的未知函数是位移 ,它只以时间 为自变量。

精确解总结编辑

一些微分方程有精确封闭形式的解,这里给出几个重要的类型。

在下表中,   是任意关于 可积英语Integrable函数, 是给定的实常数, 是任意常数(一般为复数)。这些微分方程的等价或替代形式通过积分可以得到解。

在积分解中,   是积分变量(求和下标的连续形式),记号  只表示  积分,在积分以后  替换,无需加常数(明确说明)。

微分方程 解法 通解
可分离方程
一阶,变量    均可分离(一般情况, 下面有特殊情况)[1]

 

 

分离变量(除以 )。  
一阶,变量   可分离[2]

 

 

直接积分。  
一阶自治,变量   可分离[2]

 

 

分离变量(除以  )。  
一阶,变量    均可分离[2]

 

 

整个积分。  
一般一阶微分方程
一阶,齐次[2]

 

 ,然后通过分离变量    求解.  
一阶,可分离变量[1]

 

 

分离变量(除以  )。

 

如果 , 解为 .

恰当微分, 一阶[2]

 

 

其中  

整个积分。  

其中    是积分出来的函数而不是常数,将它们列在这里以使最终函数   满足初始条件。

反常微分, 一阶[2]

 

 

其中 

积分变量   满足

 

如果可以得到  

 

一般二阶微分方程
二阶, 自治[3]

 

原方程乘以   , 代换 , 然后两次积分.  
线性方程 (最高到 阶)
一阶线性,非齐次的函数系数[2]

 

积分因子:  .  
二阶线性,非齐次的常系数[4]

 

余函数  : 设  ,代换并解出   中的多项式,求出线性无关函数  

特解  :一般运用常数变易法英语method of variation of parameters,虽然对于非常容易的   可以直观判断。[2]

 

如果  , 则:

 

如果  , 则:

 

如果  , 则:

 

  阶线性,非齐次常系数[4]

 

余函数  :设  ,代换并解出   中的多项式,求出线性无关函数  .

特解  :一般运用常数变易法英语method of variation of parameters,虽然对于非常容易的   可以直观判断。[2]

 

由于   多项式的解:  ,于是:

对于各不相同的  

 

每个根   重复   次,

 

对于一些复数值的 αj,令 α = χj + iγj,使用欧拉公式,前面结果中的一些项就可以写成

 

的形式,其中 ϕj 为任意常量(相移)。

参见编辑

参考资料编辑

  1. ^ 1.0 1.1 Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition), S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schuam's Outline Series, 2009, ISC_2N 978-0-07-154855-7
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (4th Edition), W.E. Boyce, R.C. Diprima, Wiley International, John Wiley & Sons, 1986, ISBN 0-471-83824-1
  3. ^ Further Elementary Analysis, R. Porter, G.Bell & Sons (London), 1978, ISBN 0-7135-1594-5
  4. ^ 4.0 4.1 Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISC_2N 978-0-521-86153-3