常用對數

以10為底的對數

在數學中,標準對數,也称常用對數(英語:Common logarithm[註 1])是以10底數對數函數,其逆函數是以10作為基數指數函數

The graph shows that log base ten of x rapidly approaches minus infinity as x approaches zero, but gradually rises to the value two as x approaches one hundred.
A graph of the common logarithm of numbers from 0.1 to 100.

底為10的對數表达式以 log10(x)表示,或者有時以英文的大寫字母 L 表示 Log(x)[註 2]。在計算機上的標記通常是“log”,但數學家通常区分对待自然对数[註 3]和常用對數。為了區分這種模糊性,ISO 80000 規範建議 log10(x)應該寫成lg (x),loge(x)應該是 ln (x)。

數學表达编辑

常用對數的一般表示方法為 ,或简写成 ,正式寫法是 ;而常用對數逆函數為 

用途编辑

 
Page from a table of common logarithms. This page shows the logarithms for numbers from 1000 to 1500 to five decimal places. The complete table covers values up to 9999.

常用對數多數應用於表達聲音強度分貝)、酸鹼值芮氏規模星等等數值相差的層次很大的比較,因為它可以「令十變成一,令一億變成八」(數算整數位以上的零的數目)。最常見的例子之一是化學中使用的氫離子指數。這被定義如下。

 

在20世紀70年代初之前,還沒有手持的電子計算器可用,能進行倍增的機械計算器體積龐大,價格昂貴並不廣泛使用。相反,當計算所需的精度比使用計算尺能達到的要求更高時,科學,工程和導航中使用的是底數為10的對數表格。對數的使用避免了繁瑣且容易出錯的筆算乘法和分割。由於對數非常有用,在許多教科書的附錄中都有底為10的對數表格。數學和導航手冊也包括三角函數的對數表。

底為 10的對數一個重要特性使得它們在計算中非常有用,因為大於 1 的對數相差 10倍的冪,都具有相同的小數部分。小數部分被稱為尾數。因此表格只需顯示小數部分。常用對數表通常列出範圍內每個數字的尾數,小數點後 4位或 5位,例如 1000 到 9999。這樣的範圍將涵蓋尾數的所有可能值。

稱為特徵的整數部分可以通過簡單地計算小數點必須移動多少個位置來計算,以便它僅在第一個有效位的右側。例如,120的對數由以下計算給出:

 

最後一個數字(0.07918) - 小數部分或120的常用對數的尾數 - 可以在下表中找到。120中小數點的位置告訴我們120的常用對數的整數部分,特徵是2。

大於 0 且小於 1 的數字具有負對數。例如,

 

為了避免需要單獨的表格將正負對數轉換回原始數字,使用了一個小節符號:

 

超過特徵的橫線表明其為負值,而尾數仍為正值。朗读时,這個符號  讀作“bar n”,所以   被讀作“bar 2 point 07918 ...”。

以下示例使用小節符號來計算 0.012×0.85 = 0.0102:

 

下表顯示了如何將相同的尾數,用於不同於 10次方的數字範圍:

Common logarithm, characteristic, and mantissa of powers of 10 times a number
number logarithm characteristic mantissa combined form
n (= 5 × 10i) log10(n) i (= floor(log10(n)) ) log10(n) − characteristic
5 000 000 6.698 970... 6 0.698 970... 6.698 970...
50 1.698 970... 1 0.698 970... 1.698 970...
5 0.698 970... 0 0.698 970... 0.698 970...
0.5 −0.301 029... −1 0.698 970... 1.698 970...
0.000 005 −5.301 029... −6 0.698 970... 6.698 970...

請注意,尾數對於所有 5×10i都是通用的。這適用於任何正實數  因為

 .

這允許一個對數表包含每個尾數只有一個條目。在 5×10i的例子中,一旦以 5(或 0.5或 500等)索引,將列出 0.698 970(004 336 018 ...)。

歷史编辑

因为以 10 为底的对数对计算最常用,所以工程师通常简单地写成“ lg( x ) ”另一方面,数学家在表示自然对数的log e ( x )时,会写成“ ln( x ) ” 。今天,这两种符号都被广泛使用。

由于手持式电子计算器是由工程师而非数学家设计的,因此它们遵循工程师的符号已成为惯例。所以记法“ ln( x )”依靠电子计算器的发明而进一步普及。

數值编辑

注释编辑

  1. ^ 或稱為布里格斯對數,以纪念率先使用的英國數學家Henry Briggs命名
  2. ^ 然而這個符號是不明確的,因為它也可能意味著複數自然對數多值函數
  3. ^ 底數e≈2.71828 的對數

參見编辑