平均数不等式

平均数不等式,或称平均值不等式均值不等式,是数学上的一组不等式,也是基本不等式的推广。它是说:

如果是正數,则

其中:

当且仅当 ,等号成立。

即对这些正数:调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数(方均根)

简记为:“调几算方

n=2 时的情形编辑

  • 第一个不等号
   
   
   
   
   
  • 第二个不等号
   
   
   
   
  • 第三个不等号
   
   
   

证明方法编辑

关于均值不等式的证明方法有很多,数学归纳法(第一数学归纳法或反向归纳法)、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等,都可以证明均值不等式,在这里简要介绍数学归纳法证明n维形式的均值不等式的方法:

用数学归纳法证明,需要一个辅助结论。

引理:设A≥0,B≥0,则 ,且仅当B=0时取等号。

引理的正确性较明显,条件A≥0,B≥0可以弱化为A≥0,A+B≥0,可以用数学归纳法证明。

原题等价于: , 当且仅当 时取等号。

当n=2时易证;

假设当n=k时命题成立,即 , 当且仅当 时取等号。

那么当n=k+1时,不妨设   中最大者,则 

  ,根据引理

 ,当且仅当  时,即 时取等号。

此外,人教版高中数学教科书《选修4-5 不等式选讲》也介绍了一个运用数学归纳法的证明方法[1]

先运用数学归纳法证明一个引理:若  是正整数)个正数 的乘积 ,则它们的和 ,当且仅当 时等号成立。

此引理证明如下:

 时命题为:若 ,则 ,当且仅当 时等号成立。命题显然成立。

假设当 时命题成立,则现在证明当 时命题也成立。

若这 个数全部是1,即 ,则命题显然成立。

若这 个数不全是1,则易证明必存在 使 。不妨设 。由归纳假设,因为 ,所以 ,记此式为①式。由 ,知 ,则 ,整理得 ,记此式为②式。①+②得 ,整理得 (此时等号不成立),命题成立。

综上,由数学归纳法,引理成立。

现在为了证明平均值不等式,考虑 个正数 ,它们的积为1,由引理,它们的和 ,当且仅当  时等号成立。

整理即得: ,当且仅当 时等号成立。于是 得证。

利用 ,易证 。考虑 个正数 ,有 ,当且仅当  时等号成立。两边取倒数整理得 ,当且仅当 时等号成立,即 

 等价于 。事实上, 等于 方差,通过这个转化可以证出 ,证明如下。

 

 

 

 

当且仅当 时等号成立。

利用琴生不等式法也可以很简单地证明均值不等式,同时还有柯西归纳法等方法。

参见编辑

  • ^ 普通高中课程标准实验教科书 数学 选修4-5 不等式选讲. 人民教育出版社. 2007: 52. ISBN 978-7-107-18675-2.