平坦模

抽象代數中,一個 上的平坦模是一個 - ,使得函子 保持序列的正合性;若此函子還是忠實函子,則稱之為忠實平坦模

上的向量空間都是平坦模。自由模或更一般的射影模也是平坦模。对于一个局部諾特環上的有限生成模,平坦性、射影性與自由性三者等價。

塞爾的論文《代數幾何與微分幾何》以降,平坦性便在同調代數代數幾何中扮演重要角色。其幾何意義甚深,詳見條目平坦態射

交換環的情形编辑

  為交換環,一個  -模的平坦性等價於   是個從  -模到 -模之正合函子

將環   對一個積性子集  局部化   視作  -模,則它是平坦的。

 諾特環  是有限生成  -模時,平坦性在下述意義等價於局部自由模  是平坦  -模若且唯若對任何素理想  ,局部化   是自由  -模。事實上,對條件中的   僅須考慮極大理想即可。

一般的環编辑

  非交換時的定義須作如下修改:假設   是左  -模,則稱之左平坦模,若且唯若對   的張量積將右  -模的正合序列映至阿貝爾群的正合序列。

環上的張量積總是右正合函子,所以左  -模   是平坦模的充要條件是:對任何右  -模的單射  ,取張量積後的同態   仍為單射。

極限编辑

一般來說,平坦模的歸納極限仍是平坦模;此陳述可由    的伴隨性質形式地推出。平坦模的子模與商模不一定是平坦模,然而我們有下述定理:一個平坦模的同態像是平坦模,若且唯若其核為純子模

Lazard 在1969年證明了:模   平坦的充要條件是它可表成有限生成自由模的歸納極限。由此可知有限展示的平坦模都是射影模。

一個阿貝爾群是平坦  -模的充要條件是其中沒有撓元。

同調代數编辑

與Tor函子的關係编辑

平坦性也可以用Tor函子的消沒性表示。Tor函子是張量積的左導函子。一個左  -模   的平坦性等價於  ;類此,一個右  -模   的平坦性等價於  。藉Tor函子的長正合序列可以導出下列關於基本性質:

考慮短正合序列

 
  •   平坦,則   亦然。
  •   平坦,則   亦然。
  •   平坦,  不一定平坦;若假設   純子模  平坦,則可推出    皆平坦。

局部判準编辑

  為交換環,  為一理想,則我們有下述平坦性的局部判準

定理(Bourbaki). 以下諸條件等價:

  1.   是平坦  -模。
  2.   是平坦  -模,且  
  3.   是平坦  -模,且典範同態   為同構。
  4. 對所有  -模  ,有  
  5. 對所有  -模  ,有  
  6. 對所有    是平坦  -模。
  7.   是平坦  -模,且典範態射   為同構。

此判準在代數幾何中的用途尤大。

平坦分解编辑

一個模  平坦分解是如下形式的正合序列:

 

使得其中每個   都是平坦模。

任何射影分解都是平坦分解。

忠實平坦模编辑

一個  -模   被稱作忠實平坦的,若且唯若   是個忠實的正合函子。這也就是說:

  1.   是個平坦  -模。
  2. 典範映射   是單射。

  為交換環時,有以下幾種等價的刻劃:

  •   是忠實平坦的。
  •   是平坦的,且  
  •   是平坦的,且對所有極大理想   都有  
  • 一個序列   正合,若且唯若   正合。

文獻编辑

  • Multilinear Algebra, Northcott D.G, 1984, Cambridge University Press - page 33
  • Eisenbud, David. Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics 150. New York: Springer-Verlag. 1995: xvi+785. ISBN 978-0-387-94268-1.