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平行六面体
平行六面体
平行六面体
類別 柱體
6
12
頂點 8
歐拉特徵數 F=6, E=12, V=8 (χ=2)
面的種類 平行四邊形×6
威佐夫符號英语Wythoff symbol 2 4 | 2
對稱群 Ci, [2+,2+], (×), order 2
對偶 平行四面軸正軸體
特性 環帶多面體

几何学中,平行六面体是由六个平行四边形所组成的三维立体,是一種平行多面體。它与平行四边形的关系,正如正方体正方形之间的关系;在欧几里得几何中这四个概念都允许,但在仿射几何中只允许平行四边形和平行六面体。平行六面体的三个等价的定义为:

  • 六个面都是平行四边形的多面体
  • 有三对对面平行的六面体;
  • 底面为平行四边形的棱柱

长方体(六个面都是长方形)、正方体(六个面都是正方形),以及菱面体(六个面都是菱形)都是平行六面体的特殊情况。

平行六面体是拟柱体的一个子类。

性质编辑

平行六面体可由正方体线性变换而成。

用相同的平行六面体,可以镶嵌整个空间。

体积编辑

基本公式编辑

平行六面体的体积是底面   与高   的乘积,即

 

这里的高是底面与对面的垂直距离。

以向量計算编辑

 
用向量来定义平行六面体。

另外一个方法是用向量    ,以及   来表示相交于一点的三条棱。平行六面体的体积   等于純量三重积

 

證明

   来表示底面的边,则根据向量积的定义,底面的面积   为:

 

其中     之间的角,而高为:

 

其中     之间的角。

从图中我们可以看到,   的大小限定为   。而向量    之间的角   则有可能大于90°( )。也就是说,由于    平行,   的值要么等于   ,要么等于   。因此:

 

 

我们得出结论:

 

于是,根据純量积的定义,它等于   的绝对值,即:

 

证毕。

最后一个表达式也可以写成以下行列式的绝对值:

 


以稜長及夾角計算编辑

    是三條兩兩相鄰的稜長,且    是三條稜邊的夾角,則平行六面体的体积為:

 

證明

從上面可知,平行六面体的体积可表示為:

 

其中:

 

因此

 

依行列式及純量積定義展開公式右手邊,即可得上述公式。


以座標計算编辑

選取任意一頂點   以其相鄰三個頂點     ,則體積可表示為:

 

特殊情况编辑

如果平行六面体具有对称平面,则一定是以下两种情况之一:

  • 四个面是长方形;
  • 两个面是菱形,而在另外四个面中,两个相邻面相等,另外两个面也相等。

长方体是六个面都是长方形的平行六面体;正方体是六个面都是正方形的平行六面体。

菱面体是六个面都是菱形的平行六面体;三方偏方面体是所有菱形面都全等的菱面体。

完美平行六面體编辑

完美平行六面體指棱長、面對角線和體對角線都是整數的平行六面體。在2009年,發現了數十個完美平行六面體的例子[1],包括棱長271、106及103,劣面對角線長101、 266及255,優面角線長183、 312及323,以及體對角線長374、 300、 278及272的平行六面體。

超平行体编辑

平行六面体在高维空间的推广称为超平行体

特别地,n维空间中的超平行体称为n维超平行体。因此,平行四边形就是2维超平行体,平行六面体就是3维超平行体。

n维超平行体的所有对角线相交于一点,并被这个点所平分。

位于 空间中的n维超平行体的n维体积( ),可以用格拉姆行列式的方法来计算。

参考文献编辑

外部链接编辑

  • ^ Sawyer, Jorge F.; Reiter, Clifford A. Perfect parallelepipeds exist. Mathematics of Computation. 2011, 80: 1037–1040. arXiv:0907.0220. doi:10.1090/s0025-5718-2010-02400-7. .