打开主菜单

库塔-儒可夫斯基定理

库塔-豬可夫斯基定理Kutta–Joukowski theorem)是空气动力学的基本定理,計算在機翼或是二維物體(例如圓柱)在均勻流體中的升力,且此流場的速度夠快,使物體的速度場是穩定及無分離的。定理是有關一個正圓柱的升力以及圓柱和流體之間的相對速度、流體密度以及环量[1]。库塔-儒可夫斯基定理得名自德國科學家馬丁·威廉·庫塔英语Martin Wilhelm Kutta及俄國科學家尼古拉·葉戈羅維奇·茹科夫斯基,他們在二十世紀初首次提出這様的概念。库塔-儒可夫斯基定理是考慮壓力及升力的無粘性理論,不過在典型的空氣動力學應力時,可以模擬實際的黏性流。

环量定義為流體速度沿著曲線的柱形物體,在繞著圓柱或機翼一周的線積分[2],其速度的大小及方向會沿著路徑而改變。

库塔-儒可夫斯基定理建立升力和环量的關係,類似馬格努斯效應建立旋轉和側向力的關係一樣[1]。不過此處的环量不是因為機翼的旋轉而產生,而是因為以下提及的機制而產生。由於機翼的存在,氣流的變化可以視為平移流場及旋轉流場(渦旋)的疊加。此旋轉流是由翼型的外傾角、攻角及銳利的後緣角所產生,不同於外形像龍捲風渦旋。若離機翼夠遠時,旋轉流可以視為是由渦旋所引發的,渦旋的中心線平行二維平面。在描述機翼的库塔-儒可夫斯基定理時,一般會假設機翼是圓柱形或是其他的茹科夫斯基翼型

升力公式编辑

此定理和在二維流場中的翼型(或是翼展無窮大的圓柱)有關,可以計算單位翼展下的升力。當环量 已知,其升力 除以翼展下的單位翼展升力(或表示為 )可以表示為以下的方程式[3]

 

 

 

 

 

(1)

其中

  分別為流體密度及在翼型上游,遠離翼型位置的流體速度,
 為以下線積分定義的环量(逆時針為正值)
 

上述环量是沿著一個封閉圍道 進行,此圍道包覆著翼型或是圓柱,且沿著其正方向(逆時針)進行。其路徑需在位流的範圍內,不能在圓柱的邊界層內。被積分式 是局部流體速度沿著曲線 切線方向的分量,且 為曲線 的無窮小面積。方程式(1)是库塔-儒可夫斯基定理中的一個形式。

Kuethe和Schetzer用以下的話描述库塔-儒可夫斯基定理:[4]

任意截面積的柱形物體,其單位長度的受力等於 ,方向和 垂直。

在使用库塔-儒可夫斯基定理時,需注意环量 的計算。

环量和库塔條件编辑

一個產生升力的翼型或者具有彎度,或者是在均勻的流體中以一定攻角 (机翼弦线和平移方向的角度)平移。而且翼型需要有一個銳利的後緣。上述條件類似鳥的翅膀,有銳利的後緣,有彎度,在天空中有一定的攻角。

實際的流體是有黏性的,流體速度在翼型邊緣為零,因此若考慮黏性流體,且以翼型形狀為圍道計算環量,其環量也為零。甚至由翼形上方及下方的流體會在後緣相會,而黏滯耗散會使流體不旋轉。這稱為真實流場的库塔條件。普朗特發現若雷諾數 夠大,攻角夠小,翼型夠薄,則流場可以分為靠近機翼小區域的黏滯層(稱為邊界層),以及其他區域的非黏性流。

库塔和儒可夫斯基發現在計算雷諾數夠大,攻角夠小,厚度夠薄的翼型之壓力和升力時,若假定已考慮库塔條件,可以假設整個流場是非黏性流。這稱為位流理論,在實務上結果相當接近。在非黏性流施加库塔條件相當於計算环量。

簡單來說,類似鳥翅膀的機翼自然會產生升力,在飛行中的流場滿足库塔條件。若使用位流理論(在計算壓力及升力時假設是非黏性流及無旋轉流,計算阻力時用普朗特邊界層來近似),要求飛行時間符合库塔條件,會得到一個由=库塔-儒可夫斯基定理和環量產生的升力,和實際的升力非常接近。

推導编辑

以下有二種推導方式,第一個是基於物理的直覺,較启发式的推導,第二種是比較正式及技術式的推導,需要用到向量分析複變分析的知識。

啟發式的推導编辑

以較啟發式的說法,考慮一個薄的機翼,其翼弦 ,有無限長的翼展,在密度為 空氣中移動。令翼和氣流有一個攻角,使翼的一側的氣流速度為 ,另一側的氣流速度為 ,因此其環流

 

機翼兩側的壓力差 可以由伯努利定律求得

 
 
 

因此單位翼展的浮力為

 

此理論的微分版本可應用在機翼中的每一個元素,也是薄翼理論(thin-airfoil theory)的基礎。

正式的推導编辑

較複雜情形下的升力编辑

库塔-儒可夫斯基定理預測的升力是以無粘性流勢流理論為基礎,但若流場是穩定且無分離的,库塔-儒可夫斯基定理的結果很接近實際的黏性流[6]

在推導库塔-儒可夫斯基定理時,有假設流場是無旋轉流,若在物體外有自由渦流,就像許多不穩定流的情形,此流場為旋轉流,在推導升力時就需要一些更複雜的理論。

  • 小攻角下突然啟動的流場:若是機翼突然加速,或是攻角較小的情形下突然啟動的流場,在機翼後緣會連續的出現涡片英语vortex sheet泄离,此時的升力是時變不穩定的。若是小攻角下啟動的流場,涡片會延著平面的路徑,升力係數的曲線會隨時間而變化,其形式會是Wagner函數[7]。此時最終升力會如同库塔-儒可夫斯基定理所預測的一樣,但初升力只有最終升力的一半[8]。當機翼前進七倍翼弦的距離時,其升力才會達到最終升力的90%。
  • 大攻角下突然啟動的流場:若攻角夠大的話,機翼後緣的涡片一開始會是螺旋形的,理論升力在一開始會是無限大[9]。一般認為升力的曲線是隨時間單調遞增的,但在大攻角下,會有一段很短暫的時間會有升力下降的情形。
  • 大攻角下啟動,有銳利的機翼前緣:若針對一片平粄,也有銳利的前緣,涡片泄离會出現在前緣,而前緣的涡片泄离有二種不同的效果:
1.若仍接近前緣,可以提昇Wagner升力曲線,可以增加升力。
2.若前緣的涡片泄离和後緣有關,引入新的後緣螺旋形涡片,延著升力增加的方向移動,則會破壞升力。
對於這種流場,涡升力线(VFL)圖[10]可以用來了解不同情形下涡流帶來的效果(包括流場啟動及其他的條件),也可以控制涡流以增強或降低升力。涡升力线圖是一個二維的圖,其中會繪出涡升力线,其對升力的貢獻和其速度、環量及渦升力線和流線的餘弦成正比,因此渦升力線可以看出涡流對升力的提升或破壞程度。
  • Lagally定理:若在機翼外面有固定的渦源,其對升力的修正可以表示為渦源的強度,及因其他因素造成渦源處誘導速度,這稱為Lagally定理。[11]
針對二相的非黏性流,傳統的库塔-儒可夫斯基定理預測阻力為零,不過若機翼外有渦源,會產生阻力,其形成原因類似升力。

相關條目编辑

參考資料编辑

  1. ^ 1.0 1.1 Lift on rotating cylinders. NASA Glenn Research Center. 2010-11-09 [2013-11-07]. 
  2. ^ Anderson, J.D. Jr., Introduction to Flight, Section 5.19, McGraw-Hill, NY (3rd ed. 1989.)
  3. ^ Clancy, L.J., Aerodynamics, Section 4.5
  4. ^ A.M. Kuethe and J.D. Schetzer, Foundations of Aerodynamics, Section 4.9 (2nd ed.)
  5. ^ Batchelor, G. K., An Introduction to Fluid Dynamics, p 406
  6. ^ Anderson J Fundamentals of Aerodynamics, Mcgraw-Hill Series in Aeronautical and Aerospace Engineering, McGraw-Hill Education, New York 2010
  7. ^ Wagner H Uber die Entstehung des dynamischen Auftriebes von Tragflueln. Z. Angew. Math. Mech.1925, 5, 17.
  8. ^ Saffman PG Vortex dynamics, Cambridge University Press, New York, 1992 .
  9. ^ Graham JMR,The lift on an aerofoil in starting flow |publisher= Journal of Fluid Mechanics, 1983, vol 133, pp 413-425
  10. ^ Li J and Wu ZN. Unsteady lift for the Wagner problem in the presence of additional leading trailing edge vortices. Journal of Fluid Mechanics, 2015, Vol 769, pp 182 - 217. 
  11. ^ Milne-Thomson LM Theoretical Hydrodynamics[p226], Macmillan Education LTD, Hong Kong.1968
  • Batchelor, G. K. (1967) An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press
  • Clancy, L.J. (1975), Aerodynamics, Pitman Publishing Limited, London ISBN 0-273-01120-0
  • A.M. Kuethe and J.D. Schetzer (1959), Foundations of Aerodynamics, John Wiley & Sons, Inc., New York ISBN 0-471-50952-3