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对角论证法乔治·康托尔於1891年提出的用于说明实数集合不可数集的证明。

对角线法并非康托尔关于实数不可数的第一个证明,而是发表在他第一个证明的三年后。他的第一个证明既未用到十进制展开也未用到任何其它數系。自从该技巧第一次使用以来,在很大范围内的证明中都用到了类似的证明构造方法,它們一般亦稱為對角論證法。

实数编辑

康托尔的证明表明区间[0, 1]不是可数无穷大。该证明是用反證法完成的,步骤如下:

  1. 假設区间[0, 1]是可數無窮大的,已知此區間中的每個數字都能以小數形式表達。
  2. 我們把區間中所有的數字排成數列(這些數字不需按序排列;事實上,有些可數集,例如有理數也不能按照數字的大小把它們全數排序,但單只是成數列就沒有問題的)。對於那些有兩種小數形式的數字,例如0.499 ... = 0.500 ...,我們選擇前者。
  3. 舉例,如果該數列小數形式表現如下:
    r1 = 0 . 5 1 0 5 1 1 0 ...
    r2 = 0 . 4 1 3 2 0 4 3 ...
    r3 = 0 . 8 2 4 5 0 2 6 ...
    r4 = 0 . 2 3 3 0 1 2 6 ...
    r5 = 0 . 4 1 0 7 2 4 6 ...
    r6 = 0 . 9 9 3 7 8 3 8 ...
    r7 = 0 . 0 1 0 5 1 3 5 ...
    ...
  4. 考慮 小數點後的第k個位,我們給這些數字加上底線與粗體。從這裡可以看出「對角論證法」名稱的由來。
    r1 = 0 . 5 1 0 5 1 1 0 ...
    r2 = 0 . 4 1 3 2 0 4 3 ...
    r3 = 0 . 8 2 4 5 0 2 6 ...
    r4 = 0 . 2 3 3 0 1 2 6 ...
    r5 = 0 . 4 1 0 7 2 4 6 ...
    r6 = 0 . 9 9 3 7 8 3 8 ...
    r7 = 0 . 0 1 0 5 1 3 5 ...
    ...
  5. 我們設一實數 ,其中 是根據以下的方式定義的:
    • 如果 的第 個小數位等於5,那麼 的第 個小數位是4。
    • 如果 的第 個小數位不等於5,那麼 的第 個小數位是5。
  6. 明顯地 是一個在区间[0, 1]內的實數,以之前的數列為例,則相對應的 應為 0 . 4 5 5 5 5 5 4 ...。
  7. 由於 的特殊定義,  會在第 個小數位不同。這使得序列 之中所有的實數俱不能與 完全相等,即 不在序列 中。
  8. 但我們假設 包括了所有區間[0, 1]內的實數,即應該要存在一個 。這發生了矛盾。
  9. 所以在第一點內所提出的假設「区间[0, 1]是可數無窮大的」不成立,證畢。

外部連結编辑