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廣義相對論中的數學

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狹義相對論编辑

狹義相對論中,微積分矩陣為其所用到的主要數學工具,配合閔可夫斯基時空的轉換以及勞倫茲不變量的使用,粗略地描述了的性質。當s'座標系在s座標系沿x軸作等速v運動時,其轉換以以下方程表示:

 
 
 
 

其具有以下不變形式:

 

或者寫成微分形式

 

在適當地選取座標系可使 

對於牛頓力學中的動量、能量作了以下的修正:

 
 

其中

 ,: 為物質在靜止下的質量

能量和動量有以下關係:

 

廣義相對論编辑

狹義相對論僅限於等速、時空可近似平坦地情況下,然而在討論大尺度且有引力場的情況下,就必須使用廣義相對論

愛因斯坦認為,慣性坐標系並沒有優於其他坐標系,一切的物理定律應在任何參考座標系下皆成立,所有的變換應都是協變的。因此,在其論文中,大量地使用稱之為張量(Tensor)的數學工具,其方程往往是非線性的,因此很難求解。

數學形式编辑

一小段弧長ds平方的不變式

 

 度規張量

  逆變張量


質點沿測地線運動,測地線方程可以用哈密頓原理或是平行位移(parallel transportation)等方式推導,以下為測地線方程:

 

 克里斯多福符號

在非歐式空間中,描述空間曲率的張量為黎曼-克里斯多福張量

 

参考文献编辑

外部連結编辑