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覆盖 (拓扑学)

拓扑学
(重定向自开覆盖

数学中,若 是一個集合搜集 索引的集合中并集子集,則集合搜集 集合 覆盖。用符号来说,如果 的子集索引族,则 是如下条件下的覆盖(定义可参见: Gamelin 与 Greene 第19頁或 Kelly 第49頁)

更一般的说,如果 的子集,而 的子集 的搜集,它的并集包含 ,则 被称为是 的覆盖。也就是 的覆盖如果

拓撲學中覆蓋编辑

覆盖通常用在拓扑学的上下文中。如果集合  拓扑空间,我们称  开覆盖,如果它的每个成员都是开集(就是说每个   都包含在   中,这里的    上的拓扑)。

如果    的覆盖,则  子覆盖  的仍覆盖   的子集。

  的开覆盖被称为是局部有限的,如果对任意   的点  都存在一个领域,其只与这个覆盖中有限多个集合有交集。用符号来说,  是局部有限的,如果对于任何  ,存在某个   的邻域   使得集合

 

是有限的。

精細编辑

  的覆盖  精細(或稱加細)是   的新覆盖   ,使得在   中的任意的一個集合,都包含在   的某个集合中。

用符号来说,有 覆盖    ,如果对任意的   ,都存在某个   使得  ,我們則說   是覆盖   的精細。

所有子覆盖也是精細,反之不然。但是注意一般的说精細将比原始覆盖有更多的集合。

紧致性编辑

覆盖的这个词语经常用来定义与紧致性有关的拓扑性质。一个拓扑空间 X 被称为

  • 紧致的,如果所有开覆盖有有限子覆盖。
  • 林德勒夫的,如果所有开覆盖都有可数子覆盖。
  • 元紧致的,如果所有开覆盖都有一个点有有限开精細。
  • 仿紧致的,如果所有开覆盖允许局部有限、开精細。

引用编辑

  1. Theodore W. Gamelin & Robert Everist Greene. Introduction to Toplogy Second Edition. Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40680-6 (英语). 
  2. John L. Kelly. General Topology. Princeton, NJ.: D. Van Nostrand Company, Inc. 1955 (英语).