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数学中,弗罗比尼乌斯内积是一种基于两个矩阵的二元运算,结果是一个数值。它常常被记为。这个运算是一個將矩陣視為向量的逐元素内积。参与运算的两个矩阵必须有相同的维度、行数和列数,但不局限于方阵

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定义编辑

给定两个n×m矩阵 AB

 

弗罗比尼乌斯内积定义为如下的矩阵元素求和

 

其中上划线表示复数和複矩阵的共轭操作。若將定義詳細寫出,則有

 

此計算與點積十分相似,所以是一個內積的範例。

性质编辑

弗罗比尼乌斯内积是半双线性形式。给定複矩阵A, B, C, D, 以及复数ab,我们有

 
 

并且,交换複矩阵的次序所得到的是原来结果的共轭矩阵:

 

对于相同的矩阵,有

 

样例编辑

实矩阵编辑

给定实矩阵:

 

则:

 

复矩阵编辑

给定复矩阵

 

那么它们的共轭 (非转置) 矩阵为

 

因此,

 

但注意

 

AB与其本身的弗罗比尼乌斯内积分别为

 
 

弗罗比尼乌斯范数编辑

从弗罗比尼乌斯内积我们可以诱导出弗罗比尼乌斯范数

 

參考資料编辑

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